《2025年优生ABC九年级数学上册人教版》

1. 如图，$AB$是$⊙O$的直径，$BD$是$⊙O$的弦，延长$BD$到点$C$，使$DC = BD$，连接$AC$.
(1) 求证：$AB = AC$.
(2) 过点$D$作$DE ⊥ AC$，垂足为点$E$，若$⊙O$的半径为$5$，$∠BAC = 60^{\circ}$，求$DE$的长.

答案：
解:
(1) 证明: 如图, 连接 AD.
　　　　
∵AB 是⊙O 的直径,
∴∠ADB = 90°.
又
∵BD = CD,
∴AD 是 BC 的垂直平分线.
∴AB = AC.
(2)
∵AB = AC, ∠BAC = 60°,
∴△ABC 是等边三角形.
∵⊙O 的半径为 5,
∴AB = BC = 10, CD = $\frac{1}{2}$BC = 5.
又
∵∠C = 60°,
∴DE = $\frac{5\sqrt{3}}{2}$.

2. 如图，$AB$是$⊙O$的直径，点$P$是圆上不与点$A$，$B$重合的动点，连接$AP$并延长$AP$到点$D$，使$AP = DP$，连接$BD$，点$C$是$BD$的中点，连接$OP$，$OC$，$PC$.
(1) 求证：$BA = BD$.
(2) ①若$AB = 16$，当$AP = $______时，四边形$AOCP$是菱形；
②当$∠DPC = $______$^{\circ}$时，四边形$OBCP$是正方形.

答案：
解:
(1) 证明: 如图, 连接 PB.
　　　
∵AB 是⊙O 的直径,
∴BP⊥AD.
∵AP = PD,
∴BP 是线段 AD 的垂直平分线.
∴BA = BD.
(2) ①8 ②45