《2025年优生ABC九年级数学上册人教版》

1. 如图,$\odot O$的半径为$1$,点$A$,$P$,$B$,$C$是$\odot O$上的四个点,$\angle APC = \angle CPB = 60^{\circ}$.
(1)判断$\triangle ABC$的形状:________.
(2)试探究线段$PA$,$PB$,$PC$之间的数量关系,并说明理由.
(3)当点$P$在$\overset{\frown}{AB}$的什么位置时,四边形$APBC$的面积最大?求出最大面积.

答案：
解:
(1)等边三角形
(2)PA+PB=PC.理由如下:
如图1,在PC上截取PD=PA,连接AD.
∵∠APC=60°,
∴△PAD是等边三角形.
∴PA=AD,∠PAD=60°.
∵∠BAC=∠CPB=60°,
∴∠PAD=∠BAC.
∴∠PAB=∠DAC.
又
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC.
∴△PAB≌△DAC.
∴PB=DC.
∵PD+DC=PC,
∴PA+PB=PC.
(3)当点P为$\overset{\frown}{AB}$的中点时,四边形APBC的面积最大.
　 如图2,过点P作PE⊥AB,垂足为点E,过点C作CF⊥AB,垂足为点F.
∵△ABC是等边三角形，
∴点F为AB的中点,且CF过圆心O.
∵S△PAB=$\frac{1}{2}$AB·PE,S△ABC=$\frac{1}{2}$AB·CF,
∴S四边形APBC=$\frac{1}{2}$AB·(PE+CF).
当点P为$\overset{\frown}{AB}$的中点时,点E与点F重合,PE+CF=PC,PC为⊙O的直径,
∴此时四边形APBC的面积最大.
易求得AB=$\sqrt{3}$,
∴四边形APBC的最大面积为$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$.

2. 如图,点$A$,$B$,$C$,$P$在$\odot O$上,$AB$是$\odot O$的直径,点$D$为$AC$延长线上一点,$CP$平分$\angle DCB$.
(1)求证:$PA = PB$.
(2)若$BC - AC = 6\sqrt{2}$,求$PC$的长.

答案：
解:
(1)证明:
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠DCB=∠APB=90°.
∵CP平分∠DCB,
∴∠PAB=∠PCB=45°.
∴△PAB为等腰直角三角形.
∴PA=PB.
(2)如图,过点P作PE⊥PC交BC于点E,
　　　　　
则△PCE与△PAB均为等腰直角三角形.
∴∠CPE=∠APB,CP=PE,PA=PB.
∴∠CPA=∠BPE.
∴△PAC≌△PBE.
∴AC=BE.
∴BC−AC=BC−BE=CE=$\sqrt{2}$PC=$6\sqrt{2}$.
∴PC=6.