《2025年优生ABC九年级数学上册人教版》

7.下列图形既是正方体展开图，又是中心对称图形的是 (C)

答案： C

8.如图，某广场上铺设了感应地砖灯，当游客踩上去时，对应的地砖就会亮.由正三角形组成的阴影部分为已经亮灯的区域，若下一个踩踏的地砖亮时，与已亮灯的区域构成的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形，则下一个踩踏的地砖序号为 (D)

A.①
B.②
C.③
D.④

答案： D

9.(2024·简阳市月考)在四边形$ABCD$中，$AB=CD$，要使四边形$ABCD$是中心对称图形，只需添加一个条件，这个条件可以是____AD=BC.(只写一种)

答案： (答案不唯一)$AD=BC$

10.(2024·广安市期中)如图，$\triangle AGB$与$\triangle CGD$关于点$G$中心对称，若点$E$，$F$分别在$GA$，$GC$上，且$AF=CE$，求证:$BF=DE$.

证明:$\because △AGB$与$△CGD$关于点G中心对称,
$\therefore △AGB\cong △CGD$.
$\therefore BG=DG,AG=CG$.
$\because AF=CE$,
$\therefore AF - EF=CE - EF$.
$\therefore AE=CF$.
$\therefore AG - AE=CG - CF$.
$\therefore EG=FG$.
在$△DGE$和$△BGF$中,
$\left\{\begin{array}{l} DG=BG,\\ ∠DGE=∠BGF,\\ EG=FG,\end{array}\right.$
$\therefore △DGE\cong △BGF$SAS.
$\therefore BF=DE$.

答案： 证明:$\because △AGB$与$△CGD$关于点G中心对称,
$\therefore △AGB\cong △CGD.$
$\therefore BG=DG,AG=CG.$
$\because AF=CE,$
$\therefore AF - EF=CE - EF.$
$\therefore AE=CF.$
$\therefore AG - AE=CG - CF.$
$\therefore EG=FG.$
在$△DGE$和$△BGF$中,
$\left\{\begin{array}{l} DG=BG,\\ ∠DGE=∠BGF,\\ EG=FG,\end{array}\right.$
$\therefore △DGE\cong △BGF(SAS).$
$\therefore BF=DE.$

11.(2024·成都市月考)如图，正方形$OABC$的顶点$B$的坐标为$(2,-2)$，$D(m,0)$为$x$轴上的一个动点$(m＞2)$，以$BD$为边作正方形$BDEF$，点$E$在第四象限.
(1)试判断线段$AD$与$CF$的关系，并说明理由.
(2)设正方形$BDEF$的对称中心为点$M$，直线$CM$交$y$轴于点$G$.随着点$D$的运动，点$G$的位置是否会发生变化? 若保持不变，请求出点$G$的坐标；若发生变化，请说明理由.

答案：
解:
(1)$AD=CF$且$AD⊥CF$.理由如下:如图1,连接AD,CF,交于点P,BD交CF于点Q.

$\because$四边形OABC，BDEF为正方形，
$\therefore AB=BC,∠ABC=∠DBF=90^{\circ },BD=BF.$
$\therefore ∠ABC+∠DBC=∠DBF+∠DBC$，$\therefore ∠ABD=∠CBF.$
$\therefore △ABD\cong △CBF.$
$\therefore AD=CF$，$∠ADB=∠CFB.$
又$\because ∠PQD=∠BQF$，
$\therefore ∠DPQ=∠FBQ=90^{\circ }.$
$\therefore AD⊥CF.$
(2)点G的位置不变.
如图2,过点F作$FH⊥BC$交BC的延长线于点H,过点M作$MN⊥x$轴,垂足为点N.

$\because ∠BCD=∠DBF=∠H=90^{\circ }$，
$\therefore ∠CBD+∠FBH=90^{\circ },∠FBH+∠BFH=90^{\circ }.$
$\therefore ∠CBD=∠BFH.$
$\because BD=BF$，
$\therefore △BCD\cong △FHB.$
$\because D(m,0)$，
$\therefore CD=BH=m - 2$，$BC=FH=2$，$\therefore F(4,-m).$
$\because$点M为DF的中点，
$\therefore M(2+\frac {m}{2},-\frac {m}{2}).$
在$△CMN$中，$MN=\frac {m}{2}$，$CN=\frac {m}{2}$，$\therefore △CMN$是等腰直角三角形.
$\therefore ∠OCG=∠NCM=45^{\circ }.$
$\therefore △OCG$是等腰直角三角形.
$\therefore OG=OC=2.$
$\therefore$点G的坐标为$(0,2).$