《2025年优生ABC九年级数学上册人教版》

1. 用十字相乘法解下列方程.
(1)$x^{2}+3x+2=0$;
解:因式分解,得$(x+1)(x+2)=0$,
$\therefore x+1=0$或$x+2=0$.
解得$x_{1}=-1,x_{2}=-2$.
(2)$x^{2}-5x+6=0$;
解:因式分解,得$(x-2)(x-3)=0$,
$\therefore x-2=0$或$x-3=0$.
解得$x_{1}=2,x_{2}=3$.
(3)$x^{2}-4x-12=0$.
解:因式分解,得$(x-6)(x+2)=0$,
$\therefore x-6=0$或$x+2=0$.
解得$x_{1}=6,x_{2}=-2$.

答案：
(1)解:因因式分解,得$(x+1)(x+2)=0$,
$\therefore x+1=0$或$x+2=0$.
解得$x_{1}=-1,x_{2}=-2$.
(2)解:因因式分解,得$(x-2)(x-3)=0$,
$\therefore x-2=0$或$x-3=0$.
解得$x_{1}=2,x_{2}=3$.
(3)解:因因式分解,得$(x-6)(x+2)=0$,
$\therefore x-6=0$或$x+2=0$.
解得$x_{1}=6,x_{2}=-2$.

2. 用十字相乘法解下列方程.
(1)$2x^{2}+7x+5=0$;
解:因式分解,得$(x+1)(2x+5)=0$,
$\therefore x+1=0$或$2x+5=0$.
解得$x_{1}=-1,x_{2}=-\frac {5}{2}$.
(2)$6x^{2}+19x-36=0$;
解:因式分解,得$(2x+9)(3x-4)=0$,
$\therefore 2x+9=0$或$3x-4=0$.
解得$x_{1}=-\frac {9}{2},x_{2}=\frac {4}{3}$.
(3)$2x^{2}-5x-3=0$.
解:因式分解,得$(x-3)(2x+1)=0$,
$\therefore x-3=0$或$2x+1=0$.
解得$x_{1}=3,x_{2}=-\frac {1}{2}$.

答案：
(1)解:因因式分解,得$(x+1)(2x+5)=0$,
$\therefore x+1=0$或$2x+5=0$.
解得$x_{1}=-1,x_{2}=-\frac {5}{2}$.
(2)解:因因式分解,得$(2x+9)(3x-4)=0$,
$\therefore 2x+9=0$或$3x-4=0$.
解得$x_{1}=-\frac {9}{2},x_{2}=\frac {4}{3}$.
(3)解:因因式分解,得$(x-3)(2x+1)=0$,
$\therefore x-3=0$或$2x+1=0$.
解得$x_{1}=3,x_{2}=-\frac {1}{2}$.

3. (2024·佛山市期末)三角形的两边长分别为3和6,第三边的长是方程$x^{2}-6x+8=0$的一个根,则这个三角形的周长是____13.

答案： 13

4. 用十字相乘法解下列关于x的方程.
(1)$x^{2}-(k+3)x+3k=0$.
解:因因式分解,得$(x-3)(x-k)=0$,
$\therefore x-3=0$或$x-k=0$.
解得$x_{1}=3,x_{2}=k$.
(2)$ax^{2}+(a^{2}-1)x-a=0(a≠0)$.
解:因因式分解,得$(ax-1)(x+a)=0$,
$\therefore ax-1=0$或$x+a=0$.
解得$x_{1}=\frac {1}{a},x_{2}=-a$.

答案：
(1)解:因因式分解,得$(x-3)(x-k)=0$,
$\therefore x-3=0$或$x-k=0$.
解得$x_{1}=3,x_{2}=k$.
(2)解:因因式分解,得$(ax-1)(x+a)=0$,
$\therefore ax-1=0$或$x+a=0$.
解得$x_{1}=\frac {1}{a},x_{2}=-a$.

5. 用十字相乘法解关于x的方程:$x^{2}+(2m+1)x+m^{2}+m-2=0$.

答案： 解:整理,得$x^{2}+(2m+1)x+(m+2)\cdot (m-1)=0$.
因因式分解,得$(x+m+2)(x+m-1)=0$.
$\therefore x+m+2=0$或$x+m-1=0$.
解得$x_{1}=-m-2,x_{2}=-m+1$.