《2025年优生ABC九年级数学上册人教版》

(1)一般地,二次函数$y = ax^{2}+bx + c$可以通过配方化成$y = a(x+\frac{b}{2a})^{2}+\frac{4ac - b^{2}}{4a}$的形式.其对称轴是直线x=−$\frac{b}{2a}$,顶点是(−$\frac{b}{2a}$,$\frac{4ac−b²}{4a}$).

答案： 直线x=−$\frac{b}{2a}$　(−$\frac{b}{2a}$,$\frac{4ac−b²}{4a}$)

(2)如果$a＞0$,当$x＜-\frac{b}{2a}$时,$y$随$x$的增大而减小,当$x＞-\frac{b}{2a}$时,$y$随$x$的增大而增大;如果$a＜0$,当$x＜-\frac{b}{2a}$时,$y$随$x$的增大而增大,当$x＞-\frac{b}{2a}$时,$y$随$x$的增大而减小.

答案： 【解析】：本题描述的是二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的增减性规律。对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$，其对称轴为直线$x =-\frac{b}{2a}$。当$a\gt0$时，抛物线开口向上，在对称轴左侧，即$x\lt-\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而减小；在对称轴右侧，即$x\gt-\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而增大。当$a\lt0$时，抛物线开口向下，在对称轴左侧，即$x\lt-\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而增大；在对称轴右侧，即$x\gt-\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而减小。
【答案】：此内容为二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的增减性规律描述。

1. 用公式法写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(1)$y = - 2x^{2}+8x - 8$. 开口方向向下，对称轴为直线x = 2，顶点坐标为(2,0).
(2)$y=\frac{1}{2}x^{2}-4x + 3$. 开口方向向上，对称轴为直线x = 4，顶点坐标为(4,−5).

答案： 解:
(1)
∵a = -2,b = 8,c = -8,
∴−$\frac{b}{2a}$=−$\frac{8}{2×(−2)}$ = 2,
$\frac{4ac - b^{2}}{4a}$=$\frac{4×(−2)×(−8)−8²}{4×(−2)}$ = 0.
∴抛物线y = -2x²+8x - 8的开口方向向下,对称轴为直线x = 2,顶点坐标为(2,0).
(2)
∵a=$\frac{1}{2}$,b = -4,c = 3,
∴−$\frac{b}{2a}$=−$\frac{-4}{2×\frac{1}{2}}$ = 4,
$\frac{4ac - b^{2}}{4a}$=$\frac{4×\frac{1}{2}×3−(−4)²}{4×\frac{1}{2}}$ = -5.
∴抛物线y=$\frac{1}{2}$x²−4x + 3的开口方向向上,对称轴为直线x = 4,顶点坐标为(4,−5).

2. 已知抛物线$y = x^{2}+(m - 1)x + m - 2$的对称轴为直线$x = 1$,则$m =$-1,顶点坐标为(1,−4).

答案： -1 (1,−4)

3. 已知二次函数$y = x^{2}+(2m + 1)x + m^{2}-1$的最小值为0,则$m =$−$\frac{5}{4}$,该函数图象的对称轴为直线x=$\frac{3}{4}$.

答案： −$\frac{5}{4}$ 直线x=$\frac{3}{4}$

4. (2024·广州市期中)已知二次函数$y = 2x^{2}-4x + 5$,当$y$随$x$的增大而增大时,$x$的取值范围是 (B)
A. $x\leqslant - 1$
B. $x\geqslant1$
C. $x\leqslant1$
D. $x\geqslant - 1$

答案： B

5. (2024·重庆市期中)关于抛物线$y = - x^{2}+2x - 3$的判断,下列说法正确的是 (D)
A. 抛物线的开口方向向上
B. 抛物线的对称轴是直线$x = - 1$
C. 当$x＜1$时,$y$随$x$的增大而减小
D. 抛物线与$y$轴的交点坐标为$(0,-3)$

答案： D

6. (2024·武威市月考)已知二次函数$y = - x^{2}-2x + 3$.
(1)用配方法将函数关系式化为$y = a(x - h)^{2}+k$的形式,并指出函数图象的对称轴和顶点坐标.
(2)画出所给函数的图象.
(3)直接写出当$-2\leqslant x\leqslant2$时,$y$的取值范围.

答案：
解:
(1)y = -x²−2x + 3 = -(x + 1)²+4.
∴对称轴是直线x = -1,顶点坐标是(−1,4).
(2)列表
图象如图:

(3)当−2≤x≤2时,−5≤y≤4.