《2025年优生ABC九年级数学上册人教版》

(1)抛物线$y = ax^{2}+bx + c$与$x$轴交点的横坐标$x_{1}$，$x_{2}$是一元二次方程$a x^{2}+b x+c=0$的根。

答案： $a x^{2}+b x+c=0$

(2)抛物线$y = ax^{2}+bx + c$与$x$轴的交点个数是由一元二次方程的$\Delta$决定的。当$\Delta$$＞$0时，抛物线与$x$轴有两个交点；当$\Delta$$=$0时，抛物线与$x$轴有一个交点，交点坐标是$\left(-\frac{b}{2 a}, 0\right)$；当$\Delta$$＜$0时，抛物线与$x$轴没有交点。

答案： $\Delta$ $＞$ $=$ $\left(-\frac{b}{2 a}, 0\right)$ $＜$

1.(人教教材母题)抛物线$y = x^{2}-2x - 3$与$x$轴的交点有 （C）
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个

答案： C

2.(2024·珠海市期中)二次函数$y = kx^{2}-6x + 3$的图象与$x$轴有交点，则$k$的取值范围是 （A）
A.$k\leqslant3$且$k\neq0$
B.$k\lt3$且$k\neq0$
C.$k\leqslant3$
D.$k\lt3$

答案： A

3.若关于$x$的函数$y = x^{2}+bx + 3$与$x$轴有两个不同的交点，则$b$的值不可能是 （B）
A.4
B.-3
C.5
D.-6

答案： B

4.(2024·东莞市期中)若抛物线$y = x^{2}-x + c$($c$是常数)与$x$轴没有交点，则$c$的取值范围是$c＞\frac{1}{4}$。

答案： $c＞\frac{1}{4}$

5.(2024·广州市期中)在平面直角坐标系中，抛物线$y = ax^{2}+bx + c$如图所示，则关于$x$的方程$ax^{2}+bx + c = 0$的根的情况为 （D）

A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.有实数根
D.没有实数根

答案： D

6.(2024·潮州市期中)二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的部分图象如图所示，可知方程$ax^{2}+bx + c = 0$的一个根为$x = 5$，则方程的另一个根为 （A）

A.$x = -1$
B.$x = 0$
C.$x = 1$
D.$x = 2$

答案： A

7.(2024·烟台市期中)如图，抛物线$y = ax^{2}$与直线$y = bx + c$的两个交点分别为$A(-2,4)$，$B(1,1)$，则关于$x$的方程$ax^{2}-bx - c = 0$的解为 （C）

A.$x_{1} = -4$，$x_{2} = 3$
B.$x_{1} = -5$，$x_{2} = 2$
C.$x_{1} = -2$，$x_{2} = 1$
D.$x_{1} = -3$，$x_{2} = 2$

答案： C

8.(2024·广州市期中)抛物线$y = ax^{2}+bx + c$($a\lt0$)如图所示，则关于$x$的方程$ax^{2}+bx + c = 0$的解是$x_{1}=-3, x_{2}=1$。

答案： $x_{1}=-3, x_{2}=1$

9.若一元二次方程$ax^{2}-x + c = 0$的两根为$x_{1} = -1$，$x_{2} = \frac{3}{2}$，则抛物线$y = ax^{2}-x + c$与$x$轴的交点坐标为$(-1,0),\left(\frac{3}{2}, 0\right)$。

答案： $(-1,0),\left(\frac{3}{2}, 0\right)$

10.(2024·广州市月考)若抛物线$y = x^{2}-4x - 5$与$x$轴交于点$A(x_{1},0)$，$B(x_{2},0)$，则$x_{1}x_{2} = $$-5$。

答案： $-5$