《2025年优生ABC九年级数学上册人教版》

8. 如图，在⊙O中，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CB}$，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E.
(1)求证：CD=CE.
(2)若∠AOB=120°，OA=2，求四边形DOEC的面积.

答案：
解:
(1)证明:如图,连接$OC$.

$\because \overset{\frown }{AC}=\overset{\frown }{BC}$,
$\therefore ∠AOC=∠BOC$.
又$\because CD⊥OA,CE⊥OB$,
$\therefore CD=CE$.
(2)$\because ∠AOB=120^{\circ }$,
$\therefore ∠AOC=∠BOC=60^{\circ }$.
$\because ∠CDO=90^{\circ }$,
$\therefore ∠OCD=30^{\circ }$.
$\therefore OD=\frac {1}{2}OC=1$.
$\therefore CD=\sqrt {OC^{2}-OD^{2}}=\sqrt {2^{2}-1^{2}}=\sqrt {3}$.
$\therefore \triangle OCD$的面积$=\frac {1}{2}OD\cdot CD=\frac {\sqrt {3}}{2}$.
同理可得$\triangle OCE$的面积$=\frac {1}{2}OE\cdot CE=\frac {\sqrt {3}}{2}$.
$\therefore$四边形$DOEC$的面积$=\frac {\sqrt {3}}{2}+\frac {\sqrt {3}}{2}=\sqrt {3}$.

9. (2024·广州市期中)如图，AB是⊙O的弦，点C是$\overset{\frown}{AB}$的中点.
(1)连接OC，求证：OC垂直平分AB.
(2)若AB=8，AC=2$\sqrt{5}$，求⊙O的半径.

答案：
解:
(1)证明:如图,连接$OA,OB,OC$.

$\because$点$C$是$\overset{\frown }{AB}$的中点,
$\therefore \overset{\frown }{AC}=\overset{\frown }{BC}$.
$\therefore ∠AOC=∠BOC$.
$\because OA=OB$,
$\therefore OC$垂直平分$AB$.
(2)由
(1),得$OC$垂直平分$AB$.
$\because AB=8,AC=2\sqrt {5}$,
$\therefore AD=\frac {1}{2}AB=4$.
$\therefore CD=\sqrt {AC^{2}-AD^{2}}=\sqrt {(2\sqrt {5})^{2}-4^{2}}=2$.
设$\odot O$的半径为$r$,则$OD=r - 2,OA=r$.
在$Rt\triangle AOD$中,$AD^{2}+OD^{2}=OA^{2}$,
即$4^{2}+(r - 2)^{2}=r^{2}$,
解得$r = 5$.
$\therefore \odot O$的半径为$5$.

10. (2023·天津市开学)如图，CD是⊙O的直径，点A是半圆上的一个三等分点，点B是$\overset{\frown}{AD}$的中点，点P是直径CD上一点，当CD=4时，则AP+BP的最小值为$2\sqrt {2}$.

答案： $2\sqrt {2}$

11. 如图，A，B，C，D都在⊙O上，∠AOB+∠COD=90°.
(1)将△COD绕点O逆时针旋转得到△BOE，使OC与OB重合，画出旋转后的图形.
(2)在(1)的条件下，求∠ABE的度数.
(3)若AB=2，CD=$\sqrt{2}$，求⊙O的半径.

答案：
解:
(1)如图,$\triangle BOE$即为所求.

(2)$\because ∠AOB+∠COD=90^{\circ }$,
$\therefore ∠AOE=90^{\circ }$.
$\because OA=OB=OE$,
$\therefore ∠OAB=∠OBA,∠OBE=∠OEB$.
$\because ∠OAB+∠OBA+∠OBE+∠OEB+∠AOE=360^{\circ }$,
$\therefore 2∠ABE+90^{\circ }=360^{\circ }$.
$\therefore ∠ABE=(360^{\circ } - 90^{\circ })÷2=135^{\circ }$.
(3)如图,连接$AE$,过点$E$作$EF⊥AB$交$AB$的延长线于点$F$,设$OE=OA=r$.
由
(2),得$∠ABE=135^{\circ },∠AOE=90^{\circ }$,
又$\because EF⊥AB$,
$\therefore ∠FBE=∠BEF=45^{\circ }$.
$\therefore FB=FE=\frac {\sqrt {2}}{2}BE$.
根据题意,得$\triangle BOE\cong \triangle COD$.
$\therefore BE=CD=\sqrt {2}$.
$\therefore FB=FE=1$.
$\therefore FA=AB+FB=3$.
$\because ∠AOE=90^{\circ },OE=OA=r$,
$\therefore AE=\sqrt {2}r$.
在$Rt\triangle EFA$中,$∠EFB=90^{\circ },\therefore EF^{2}+FA^{2}=1^{2}+3^{2}=10=AE^{2}=2r^{2}$.
解得$r=\sqrt {5}$.
$\therefore \odot O$的半径为$\sqrt {5}$.