《2025年优生ABC九年级数学上册人教版》

1. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BE交AC于点E，过点E作EF⊥BE于点E，EF与AB交于点F，△BEF的外接圆⊙O与BC交于点D.
(1)求证：AC是⊙O的切线.
(2)过点E作EH⊥AB，垂足为点H，若CD=1，EH=3，求BE长.

答案：
解:
(1)证明:如图，连接OE.
　　　　
∵BE平分∠ABC,
∴∠CBE = ∠ABE.
∵OB = OE,
∴∠EBO = ∠BEO.
∴∠CBE = ∠OEB.
∴BC // OE,
∴∠AEO = ∠C.
∵∠C = 90°,
∴∠AEO = 90°.
∴OE⊥AE.
∴AC为⊙O的切线.
(2)如图,连接DE.
∵BE平分∠ABC,AC⊥BC,EH⊥AB,
∴CE = EH,DE = EF.
∴Rt△CDE≌Rt△HFE.
∴HF = CD = 1.
∵OE² = OH² + EH²,
∴OE² = (OE - 1)² + 3²,解得OE = 5.
∴OH = 4.
∴BH = 9.
∴BE = √(9² + 3²)= 3√10.

2. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为点C，点F在⊙O上，FA⊥CD，垂足为点E，连接CF交AB于点H.
(1)求证：$\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{CB}$.
(2)若FA=FH=1，求OB的长.

答案：
解:
(1)证明:如图，延长CO交BF于点M;

∵CD为⊙O的切线,
∴∠ECM = 90°.
∵AB为直径，
∴∠EFB = 90°.
∵FA⊥CD,
∴∠E = 90°.
∴四边形CEFM为矩形.
∴∠CMF = 90°.
∴CM⊥FB.
∴$\overset{\frown}{CF} = \overset{\frown}{CB}$.
(2)
∵FA = FH,
∴∠1 = ∠2.
∵FA⊥CD,OC⊥DE,
∴OC // EF.
∴∠4 = ∠1.
∵∠3 = ∠2,
∴∠3 = ∠4.
∴CH = OC.
设CH = OC = OB = x,
∵OA = OB,BM = FM,
∴OM = $\frac{1}{2}$AF = $\frac{1}{2}$.
∵FM² = BM²,
∴CF² - CM² = OB² - OM².
∴(x + 1)² - (x + $\frac{1}{2}$)² = x² - ($\frac{1}{2}$)²,解得x = $\frac{1 ± \sqrt{5}}{2}$.
∵x＞0,
∴x = $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.
∴OB = $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.