《2025年优生ABC九年级数学上册人教版》

6. 等腰三角形的两边长是方程$2x^{2}-3x+1=0$的两个根，则此三角形的周长为2.5.

答案： 2.5

7. (优生原创)已知$x=a$是一元二次方程$x^{2}-3x-5=0$的较小的根，则对a估计正确的是 (A)
A. $-2＜a＜-1$
B. $2＜a＜3$
C. $-4＜a＜-3$
D. $4＜a＜5$

答案： A

8. 若代数式$x^{2}-x-6$与$-(3x-2)$的值互为相反数，则x的值为$ 2 + 2 \sqrt { 2 } $或$ 2 - 2 \sqrt { 2 } $.

答案： $ 2 + 2 \sqrt { 2 } $$或$$ 2 - 2 \sqrt { 2 } $

9. (2024·漳州市期中)对于两个不相等的实数a,b，我们规定符号$min\{ a,b\}$表示a,b中的较小值，如：$min\{ 2,5\} =2$，按照这个规定，方程$min\{ x,1\} =x^{2}-2$的解为$ x _ { 1 } = \sqrt { 3 } $,$ x _ { 2 } = - 1 $.

答案： $ x _ { 1 } = \sqrt { 3 } $$,$$ x _ { 2 } = - 1 $

10. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}+(k-2)x+k-3=0$.
(1)当$k=6$时，求方程的根.$x_{1}=-1$，$x_{2}=-3$
(2)若该方程有一个根大于2，求k的取值范围.$k<1$

答案： $(1)当 k = 6 时, x ^ { 2 } + 4 x + 3 = 0 ,
∵ a = 1, b = 4, c = 3,
∴ \Delta = 4 ^ { 2 } - 4 \times 1 \times 3 = 4 ＞ 0 .
∴ x = \frac { - 4 \pm \sqrt { \Delta } } { 2 \times 1 } = \frac { - 4 \pm \sqrt { 4 } } { 2 \times 1 } .
∴ x _ { 1 } = - 1 , x _ { 2 } = - 3 .
(2)∵ a = 1, b = k - 2, c = k - 3,
∴ x = \frac { - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a } = \frac { 2 - k \pm \sqrt { ( k - 4 ) ^ { 2 } } } { 2 } .
当 k = 4 时,解得 x _ { 1 } = x _ { 2 } = - 1 ,不符合题意;
当 k \neq 4 时,解得 x _ { 1 } = - 1 , x _ { 2 } = 3 - k ,
要使该方程有一个根大于2,
则 3 - k ＞ 2 ,解得 k ＜ 1 .
综上所述,若该方程有一个根大于2,则k的取值范围为 k ＜ 1 .$

11. (2024·广州市月考)如图，在$\triangle ABC$中，$∠ACB=90^{\circ },BC=a,AC=b$. 以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交线段AB于点D，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E. 下列哪条线段的长度是方程$x^{2}+2ax-b^{2}=0$的一个根 (B)

A. 线段BC的长
B. 线段AD的长
C. 线段EC的长
D. 线段AC的长

答案： B

12. 已知$//ogram ABCD$的两边AB，AD的长是关于x的方程$4x^{2}-4mx+2m-1=0$的两个实数根.
(1)当m为何值时，$//ogram ABCD$是菱形？并求出此时菱形的边长.
(2)若AB的长为2，求$//ogram ABCD$的周长.

答案：
(1)$∵四边形 ABCD 为菱形,
∴ AB = AD .
∵ AB , AD 的长是关于 x 的方程 4 x ^ { 2 } - 4 m x + 2 m - 1 = 0 的两个实数根,
∴ ( - 4 m ) ^ { 2 } - 4 \times 4 ( 2 m - 1 ) = 16 ( m - 1 ) ^ { 2 } = 0 ,解得 m = 1 .
∴当 m = 1 时, \square ABCD 为菱形.
当 m = 1 时,原方程为 4 x ^ { 2 } - 4 x + 1 = 0 ,
即 4 ( x - \frac { 1 } { 2 } ) ^ { 2 } = 0 ,解得 x _ { 1 } = x _ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } .
∴此时菱形的边长为 \frac { 1 } { 2 } .
(2)把 x = 2 代入 4 x ^ { 2 } - 4 m x + 2 m - 1 = 0 ,
得 16 - 8 m + 2 m - 1 = 0 ,解得 m = \frac { 5 } { 2 } .
当 m = \frac { 5 } { 2 } 时,原方程为 4 x ^ { 2 } - 10 x + 4 = 0 ,
∴ 2 x ^ { 2 } - 5 x + 2 = 0 , a = 2, b = - 5, c = 2.
∵ b ^ { 2 } - 4 a c = 25 - 16 = 9 ＞ 0 ,
∴此方程有两个不相等的实数根.
∴ x = \frac { - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a } = \frac { 5 \pm \sqrt { 9 } } { 4 } = \frac { 5 \pm 3 } { 4 } ,解得 x _ { 1 } = 2 , x _ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } .
∴ AD = \frac { 1 } { 2 } .
∴ \square ABCD 的周长为 2 ( A B + A D ) = 2 \times ( 2 + \frac { 1 } { 2 } ) = 5 .$