《2025年优生ABC九年级数学上册人教版》

8.如图,点A,B,C,D在⊙O上,AC⊥BC,AC=4,∠ADC=30°,则BC=$4\sqrt{3}$.

答案： $4\sqrt{3}$

9.如图,在⊙O中,半径OA,OB互相垂直,点C在劣弧AB上.若∠ABC=19°,则∠BAC= (D)

A.23°
B.24°
C.25°
D.26°

答案： D

10.(2024·武汉市模拟)如图,AB是⊙O的直径,点C是⌢BD的中点,连接BC,CD,DA,OC.
(1)求证:OC//AD.
(2)若AB=10,CD=2√5,求AD长.

答案：
解：
(1)证明：如图，连接$OD$。
∵点$C$是$\overset{\frown}{BD}$的中点，
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$。
∴$\angle BOC=\angle COD=\frac{1}{2}\angle BOD$。
∵$\angle DAB$是$\overset{\frown}{BD}$所对的圆周角，
∴$\angle DAB=\frac{1}{2}\angle BOD=\angle BOC$。
∴$OC// AD$。

(2)如图，连接$BD$交$CO$于点$E$。
∵$OB = OD$，$\angle COB=\angle COD$，
∴$OC\perp BD$。
∴$\angle CEB=\angle OED = 90^{\circ}$，$BE = DE$。
∴点$E$是$BD$的中点。
∵$OB = OA$，$OC// AD$，
∴$OE$是$\triangle ABD$的中位线。
∴$AD = 2OE$。
∵$AB = 10$，
∴$OD = OC = 5$。
设$OE = x$，则$CE = 5 - x$。
在$Rt\triangle OED$中，
∵$OD^{2}-OE^{2}=DE^{2}=CD^{2}-CE^{2}$，
∴$5^{2}-x^{2}=(2\sqrt{5})^{2}-(5 - x)^{2}$，
解得$x = 3$。
∴$AD = 2x = 6$。

11.如图,AB为⊙O的直径,点C为半圆的中点,动点D从点A出发,在圆周上顺时针匀速运动,到达点B后停止运动,在点D运动过程中(不包括A,B两点),∠ADC的值 (B)

A.由小逐渐增大
B.固定不变为45°
C.由大逐渐减小
D.固定不变为60°

答案： B

12.(2024·广州市模拟)在同一个圆中两条互相垂直且相等的弦定义为“等垂弦”.如图1,AB,CD是⊙O的弦,如果AB=CD,AB⊥CD,垂足为点E,则AB,CD是等垂弦.
(1)如图2,AB是⊙O的弦,作OC⊥OA,OD⊥OB,分别交⊙O于点C,D,连接CD,求证:AB,CD是⊙O的等垂弦.
(2)在图1中,若⊙O的半径为5,点E为等垂弦AB,CD的分割点,BE/AE=1/3,求AB的长度.

答案：
解：证明：
∵$AB$是$\odot O$的弦，$OD\perp OB$，$OC\perp OA$，
∴$\angle AOC=\angle BOD = 90^{\circ}$。
∴$\angle BOD+\angle BOC=\angle BOC+\angle AOC$。
∴$\angle COD=\angle AOB$。
∴$AB = CD$。
如图1，连接$BC$，设$AB$，$CD$交点为点$G$。

∴$\angle ABC=\frac{1}{2}\angle AOC = 45^{\circ}$，$\angle BCD=\frac{1}{2}\angle BOD = 45^{\circ}$。
∴$\angle BCD+\angle ABC = 90^{\circ}$。
∴$\angle BGC = 180^{\circ}-(\angle BCD+\angle ABC)=90^{\circ}$。
∴$CD\perp AB$。
∴$AB$，$CD$是$\odot O$的等垂弦。
(3)分两种情况：
①当等垂点$P$位于圆内时，如图2，过点$O$作$OP\perp AB$，$OF\perp CD$，垂足分别为点$P$，$F$。

∵$AB\perp CD$。
∴四边形$OPEF$是矩形。
∵$AB = CD$，
∴由勾股定理，可得$OP = OF$。
∴四边形$OPEF$是正方形。
∴$OP = OF = FE = PE$。
∵$AE = 3BE$，设$BE = x$，$AE = 3x$，
∴$AB = AE + BE = x + 3x = 4x$。
∵$OP\perp AB$，
∴$AP = BP=\frac{1}{2}AB = 2x$。
∴$OP = OF = PE = EF = AE - AP = x$。
连接$OB$。
∵$\odot O$的半径为$5$，
∴$OB=\frac{1}{2}\times10 = 5$。
在$Rt\triangle OBP$中，由勾股定理，得$OB^{2}=OP^{2}+BP^{2}$，
∴$5^{2}=x^{2}+(2x)^{2}$，
解得$x_{1}=\sqrt{5}$，$x_{2}=-\sqrt{5}$（不符合题意，舍去）。
∴$AB = 4x = 4\sqrt{5}$。
②当等垂点$P$位于圆外时，如图3，过点$O$作$OH\perp AB$，$OG\perp CD$，垂足分别为点$H$，$G$。

由题意，得$AB\perp CD$，
∴四边形$OHEG$是矩形。
∵$AB = CD$，
∴与①同理可得$OH = OG$。
∴四边形$OHEG$是正方形。
∴$OH = OG = EH = EG$。
∵$AE = 3BE$，设$BE = x$，$AE = 3x$，
∴$AB = AE - BE = 3x - x = BH + BE = 2x$。
∵$OH\perp AB$，
∴$AH = BH=\frac{1}{2}AB = x$。
∴$OH = OG = EH = EG = 2x$。
连接$OA$。
∵$\odot O$的半径为$5$，
∴$OA = 5$。
在$Rt\triangle OAH$中，由勾股定理，得$OA^{2}=OH^{2}+AH^{2}$，
∴$5^{2}=(2x)^{2}+x^{2}$，
解得$x_{1}=\sqrt{5}$，$x_{2}=-\sqrt{5}$（不符合题意，舍去）。
∴$AB = 2x = 2\sqrt{5}$。
综上所述，$AB = 2\sqrt{5}$或$AB = 4\sqrt{5}$。