《2025年优生ABC九年级数学上册人教版》

8.(创新题)(2024·河北模拟)题目:"如图,抛物线$y = x^{2}+mx$与直线$y = -x + b$相交于点$A(2,0)$和点$B$.点$M$是直线$AB$上的一个动点,将点$M$向左平移$3$个单位长度得到点$N$,若线段$MN$与抛物线只有一个公共点,直接写出点$M$的横坐标$x_{m}$的取值范围."
对于其答案,甲答:$x_{m}=3$;乙答:$-1\leqslant x_{m}＜2$;丙答:$-2＜x_{m}＜1$.
则下列说法正确的是(C)

A.只有甲答的对
B.只有乙答的对
C.甲、乙答案合在一起才完整
D.甲、丙答案合在一起才完整

答案： C

9.如图,抛物线$y = ax^{2}+c$与直线$y = 3$相交于$A$,$B$,点$A$的横坐标为$-4$,与$y$轴相交于点$C(0,-1)$,从图象可知,当$0\leqslant ax^{2}+c\leqslant3$时,自变量$x$的取值范围是(B)

A.$-4\leqslant x\leqslant3$
B.$-4\leqslant x\leqslant-2$或$2\leqslant x\leqslant4$
C.$-4\leqslant x\leqslant4$
D.$x\leqslant-2$或$x\geqslant2$

答案： B

10.(2024·苏州市模拟)已知抛物线$y = ax^{2}+bx + c$上某些点的横坐标$x$与纵坐标$y$的对应值如表:
|$x$|$\cdots$|$-4$|$-3$|$-2$|$-1$|$0$|$\cdots$|
|----|----|----|----|----|----|----|----|
|$y$|$\cdots$|$-3$|$p$|$1$|$p$|$m$|$\cdots$|
有以下几个结论:
①抛物线$y = ax^{2}+bx + c$与$y$轴的交点坐标是$(0,-3)$;
②抛物线$y = ax^{2}+bx + c$的对称轴为直线$x = -2$;
③关于$x$的方程$ax^{2}+bx + c = 0$的根为$-3$和$-1$;
④当$y＜0$时,$x$的取值范围是$-3＜x＜-1$.
其中正确的个数有(C)
A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

答案： C

11.(2024·广州市期中)已知直线$y = kx + 2$经过点$(1,3)$,与抛物线$y = x^{2}+bx + c$的对称轴交于点$(n,\frac{3}{2})$.
(1)求$k$,$b$的值.$k=$1,$b=$1.
(2)抛物线$y = x^{2}+bx + c$与$x$轴交于$(x_{1},0)$,$(x_{2},0)$且$3\leqslant x_{2}-x_{1}＜11$,若$p = x_{1}^{2}-4x_{2}^{2}$,求$p$的取值范围.$p$的取值范围为$-64 ＜ p ≤ 0$.
(3)当$-2＜x＜1$时,抛物线$y = x^{2}+bx + c$与直线$y = kx + 2$有且只有一个公共点,直接写出$c$的取值范围.$c$的取值范围为$-2 ＜ c ≤ 1$或$c = 2$.

答案：
(1)将$(1,3)$代入直线$y = kx + 2$,得$3 = k + 2$,解得$k = 1$.
∴一次函数解析式为$y = x + 2$.
当$y = \frac{3}{2} = x + 2$时,$x = -\frac{1}{2} = -\frac{b}{2}$,解得$b = 1$.
(2)由
(1),得$b = 1$.
∴抛物线解析式为$y = x^{2} + x + c$.
∵抛物线$y = x^{2} + x + c$与 x 轴交于$(x_{1},0),(x_{2},0)$,
∴$x_{1} + x_{2} = -1$,即$x_{2} = -1 - x_{1}$.
∵$3 ≤ x_{2} - x_{1} ＜ 11$,
∴$3 ≤ (-1 - x_{1}) - x_{1} ＜ 11$,解得$-6 ＜ x_{1} ≤ -2$.
∴$p = x_{1}^{2} - 4x_{2}^{2} = x_{1}^{2} - 4(-1 - x_{1})^{2} = -3x_{1}^{2} - 8x_{1} - 4 = -3(x_{1} + \frac{4}{3})^{2} + \frac{4}{3}$.
∵$-3 ＜ 0$,$-6 ＜ x_{1} ≤ -2 ＜ -\frac{4}{3}$,
∴p 随$x_{1}$的增大而增大.
∴当$x_{1} = -2$时,$p_{最大值} = -3×(-2)^{2} - 8×(-2) - 4 = 0$;
当$x_{1} = -6$时,$p_{最小值} = -3×(-6)^{2} - 8×(-6) - 4 = -64$.
∴p 的取值范围为$-64 ＜ p ≤ 0$.
(3)c 的取值范围为$-2 ＜ c ≤ 1$或$c = 2$.