《2025年优生ABC九年级数学上册人教版》

任务一:确定滑道的形状
(1)图 1 是单板滑雪运动员从大跳台滑雪场地滑出的场景,图 2 是跳台滑雪场地的横截面示意图. $AC$ 垂直于水平底面 $BC$,点 $D$ 到 $A$ 之间的滑道呈抛物线型,已知 $AC = 3m$,$BC = 4m$,且点 $B$ 处于跳台滑道的最低处,在图 2 中建立适当的平面直角坐标系,求滑道所在抛物线的函数解析式.

答案：
解:如图，建立如图所示的平面直角坐标系，

则点A的坐标为$(4,3)$，
设滑道所在抛物线的函数解析式为$y = ax^{2}$。
把$A(4,3)$代入，得$3 = a×4^{2}$，
解得$a = \frac{3}{16}$。
∴滑道所在抛物线的函数解析式为$y = \frac{3}{16}x^{2}$。

任务二:确定运动员达到最高点的位置
(2)如图 3,某运动员从点 $A$ 滑出后的路径满足以下条件:
①运动员滑出路径与 $D$,$A$ 之间的抛物线形状相同;
②该运动员在底面 $BC$ 上方竖直距离 $9.75m$ 处达到最高点 $P$;
③落点 $Q$ 在底面 $BC$ 下方竖直距离 $2.25m$.
在同一平面直角坐标系中,求运动员到达最高处时与点 $A$ 的水平距离.

答案：
解:如图，建立如图所示的平面直角坐标系，

∵运动员滑出路径与D，A之间的抛物线形状相同，$P(0,9.75)$，
∴运动员滑出路径抛物线的函数解析式为$y = -\frac{3}{16}x^{2} + 9.75$。
把$y = 3$代入，得$-\frac{3}{16}x^{2} + 9.75 = 3$，
解得$x = ±6$。
∴$OC = 6$。
∴运动员到达最高处时与点A的水平距离为6m。

任务三:确定拍摄俯角 $\alpha$
(3)高速摄像机能高度还原运动员的精彩瞬间,如图 4,有一台摄像机 $M$ 进行跟踪拍摄:
①它与点 $B$ 位于同一高度,且与点 $B$ 距离 $25.5m$;
②运动过程需在摄像头视角范围内才能记录,记摄像头的俯角为 $\alpha$;
③在平面直角坐标系中,设射线 $MN$ 的解析式为 $y = kx + b(k \neq 0)$,其比例系数 $k$ 和俯角 $\alpha$ 的函数关系如图 5 所示. 若要求运动员的落点 $Q$ 必须在摄像机 $M$ 的视角范围内,则俯角 $\alpha$ 至少多少度?

答案：
解:如图。

∵点Q在底面BC下方竖直距离2.25m，
∴把$y = -2.25$代入$y = -\frac{3}{16}x^{2} + 9.75$，
得$-\frac{3}{16}x^{2} + 9.75 = -2.25$，
解得$x = ±8$。
∴点$Q(8,-2.25)$。
∴$OM = 25.5 - 4 - 6 = 15.5$。
∴$M(15.5,0)$。
设α与k的函数解析式为$α = mk$。
把$(0.1,5)$代入，得$5 = 0.1m$，
解得$m = 50$。
∴$α = 50k$，即$k = \frac{α}{50}$。
设射线MN的表达式为$y = \frac{α}{50}x + b$。
把$M(15.5,0)$，$Q(8,-2.25)$代入，
得$\begin{cases}\frac{α}{50}×15.5 + b = 0,\\\frac{α}{50}×8 + b = -2.25,\end{cases}$解得$α = 15$。
答：俯角α至少$15^{\circ}$。