《2025年优生ABC九年级数学上册人教版》

1.(2024·广州市月考)【问题发现】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法.例如$x^{2}+2x-35=0$，可变形为$x(x+2)=35$.如图1，构造一个长为$x+2$、宽为x、面积为35的矩形；如图2，将4个矩形构造成一个边长为$(x+x+2)$的大正方形，中间恰好是一个边长为2的小正方形.大正方形的面积可表示为$(x+x+2)^{2}$，也可表示为$4×35+2^{2}$，由此可得新方程：$(x+x+2)^{2}=144$，易得这个方程的正数解为$x=5$.注意：这种构造图形的方法只能求出方程的一个根！
(1)尝试：小颖根据赵爽的解法解方程$2x^{2}+3x-2=0$，请将其解答过程补充完整：
第一步：将原方程变为$x^{2}+\frac {3}{2}x-1=0$，即$x$(______)$=1$.
第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形.(在画图区画出示意图，标明各边长)
第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：________；解得原方程的一个根为______.
(2)【思维拓展】参照以上方法求出关于x的一元二次方程$x^{2}+bx=c(b＞0,c＞0)$的正数解(用含b，c的代数式表示).

答案：
解：
(1)第一步：$x+\frac{3}{2}$
第二步：画图如图：

第三步：$(x+x+\frac{3}{2})^{2}=\frac{25}{4}$，$x=\frac{1}{2}$
(2)方程变形为$x(x+b)=c$，
根据赵爽的解法可造方程为$(x+x+b)^{2}=4c+b^{2}$，
$\because b＞0,c＞0$，
$\therefore 2x+b=\pm \sqrt{4c+b^{2}}$。
$\therefore x=\frac{1}{2}(\sqrt{4c+b^{2}}-b)$(负值已舍去)。
$\therefore$原方程的一个正数解为$x=\frac{1}{2}(\sqrt{4c+b^{2}}-b)$。

2.(2024·广州市期中改编)【阅读材料1】为解方程$(x^{2})^{2}-5x^{2}+4=0$，我们可以将$x^{2}$看作一个整体，然后设$y=x^{2}$，那么原方程可化为$y^{2}-5y+4=0$，经过运算，原方程的解是$x_{1}=1,x_{2}=-1,x_{3}=2,x_{4}=-2$.
我们将上述解题的方法叫做换元法.
【阅读材料2】已知实数m，n满足$m^{2}-m-1=0,n^{2}-n-1=0$，且$m≠n$，显然m，n是方程$x^{2}-x-1=0$两个不相等的实数根，由韦达定理可知$m+n=1,mn=-1$.
根据上述材料，解决以下问题：
(1)【直接应用】为解方程$x^{4}-x^{2}-6=0$，可设$y=$$x^{2}$，原方程可化为$y^{2}-y-6=0$.经过运算，原方程的解是$x=\pm \sqrt{3}$.
(2)【间接应用】已知实数a，b满足$a^{4}-3a^{2}+1=0,b^{4}-3b^{2}+1=0$，且$a≠b$，求$a^{4}+b^{4}$的值.
(3)【拓展应用】解方程：$x^{2}+2x-2\sqrt {x^{2}+2x}-3=0$.

答案： 解：
(1)$x^{2}$ $y^{2}-y-6=0$，$x=\pm \sqrt{3}$
(2)实数$a,b$满足$a^{4}-3a^{2}+1=0,b^{4}-3b^{2}+1=0$，且$a≠b$，显然$a^{2},b^{2}$是方程$x^{2}-3x+1=0$两个不相等的实数根，
由韦达定理，可知$a^{2}+b^{2}=3,a^{2}\cdot b^{2}=1$，
则$a^{4}+b^{4}=(a^{2}+b^{2})^{2}-2a^{2}b^{2}=9-2=7$。
(3)设$\sqrt{x^{2}+2x}=a$，则$a≥0$。
原方程转化为$a^{2}-2a-3=0$，
$\therefore (a+1)(a-3)=0$。
解得$a_{1}=-1$(舍去)，$a_{2}=3$。
$\therefore x^{2}+2x-9=0$。
$\therefore (x+1)^{2}=10$。
$\therefore x+1=\pm \sqrt{10}$。
解得$x_{1}=-1-\sqrt{10},x_{2}=-1+\sqrt{10}$。
经检验，$x_{1},x_{2}$满足二次根式的取值范围，
$\therefore$原方程的解为$x_{1}=-1-\sqrt{10}$，$x_{2}=-1+\sqrt{10}$。