《2025年优生ABC九年级数学上册人教版》

8. (日常生活情境)蜂巢被誉为生物建筑的顶峰. 如图1，蜂巢巢房的横截面均为正六边形，如图2为蜂巢的一部分截面示意图，以中间正六边形的中心为原点，建立平面直角坐标系，已知点$M$的坐标为$(-2\sqrt{3},4)$，则点$N$的坐标为$(2\sqrt{3},-4)$.

答案： $(2\sqrt{3},-4)$

9. (2024·广州市期中)在平面直角坐标系中，点$A(-5,b)$关于原点对称的点为$B(a,6)$，则$(a + b)^{2024}=$1.

答案： 1

10. 已知平行四边形$ABCD$的顶点$D$在第二象限，对角线$BD$的中点在坐标原点，一边$CD$与$x$轴平行且$CD = 2$，若点$D$的坐标为$(-1,2)$，则点$A$的坐标为$(-1,-2)$或$(3,-2)$.

答案： $(-1,-2)$或$(3,-2)$

11. (2024·成都市期中)已知点$P(m - 3,m - 1)$关于原点的对称点$P'$在第四象限，则$m$的取值范围在数轴上表示正确的是（D）

答案： D

12. 在平面直角坐标系中，点$P(-3,m^2 + 4m + 5)$关于原点对称的点在（D）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限

答案： D

13. (优生原创)如图.
(1)作出与线段$AB$关于原点对称的线段$A'B'$.
(2)求出直线$AB$和直线$A'B'$的解析式，并说明其位置关系.

答案：
解：
(1)如图所示.

(2)$\because A$，$B$两点的坐标为$A(0,-2)$，$B(3,0)$，
$\therefore$点$A'$，点$B'$的坐标分别为$(0,2)$，$(-3,0)$.
设直线$AB$的解析式为$y = kx + b(k \neq 0)$.
$\because$直线$AB$过点$A$，$B$，
$\therefore \begin{cases}-2 = k \times 0 + b,\\0 = k \times 3 + b,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = \dfrac{2}{3},\\b = -2.\end{cases}$
$\therefore$直线$AB$的解析式为$y = \dfrac{2}{3}x - 2$.
同理，求得直线$A'B'$的解析式为$y = \dfrac{2}{3}x + 2$.
$\because$直线$AB$和直线$A'B'$的$k$值都是$\dfrac{2}{3}$，
$\therefore$两条直线平行.

14. 如图，二次函数$y = x^2 + bx + c$的图象与$x$轴交于$A(-1,0)$，$B(3,0)$两点，与$y$轴交于点$C$.
(1)求二次函数的表达式.
(2)若点$E(m,n)$为抛物线上的一个动点，将点$E$绕原点$O$旋转$180^{\circ}$得到点$F$.
①当点$F$落在该抛物线上时，$m =$$\pm\sqrt{3}$；
②当点$F$落在第二象限内且$AF$取得最小值时，$m =$$\dfrac{2 + \sqrt{14}}{2}$.

答案： 解：
(1)将点$A$，$B$代入解析式，得$\begin{cases}1 - b + c = 0,\\9 + 3b + c = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}b = -2,\\c = -3.\end{cases}$
$\therefore$二次函数的表达式为$y = x^2 - 2x - 3$.
(2)①$\pm\sqrt{3}$ ②$\dfrac{2 + \sqrt{14}}{2}$