《2025年优生ABC九年级数学上册人教版》

对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$，当$b^{2}-4ac≥0$时，它的根为$x=$$ \frac { - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a } $.

答案： $ \frac { - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a } $

1. 用公式法解下列一元二次方程.
类型一：b^{2}-4ac＞0
(1)3x^{2}+2x-2=0；解:∵ a = 3, b = 2, c = - 2,∴ b ^ { 2 } - 4 a c = 4 - 4 × 3 × ( - 2 ) = 28 .∴$ x = \frac { - 2 \pm \sqrt { 28 } } { 2 × 3 } = \frac { - 1 \pm \sqrt { 7 } } { 3 } .$∴$ x _ { 1 } = \frac { - 1 + \sqrt { 7 } } { 3 } , x _ { 2 } = \frac { - 1 - \sqrt { 7 } } { 3 } .$(2)(2024·泉州市月考)2x^{2}-3x-1=0；解:∵ a = 2, b = - 3, c = - 1,∴ b ^ { 2 } - 4 a c = 9 - 4 × 2 × ( - 1 ) = 17 .∴$ x = \frac { 3 \pm \sqrt { 17 } } { 2 × 2 } .$∴$ x _ { 1 } = \frac { 3 + \sqrt { 17 } } { 4 } , x _ { 2 } = \frac { 3 - \sqrt { 17 } } { 4 } .$
类型二：b^{2}-4ac=0
(3)x^{2}-4x+4=0；解:∵ a = 1, b = - 4, c = 4,∴ b ^ { 2 } - 4 a c = 16 - 16 = 0 .∴$ x _ { 1 } = x _ { 2 } = \frac { 4 \pm \sqrt { 0 } } { 2 × 1 } = \frac { 4 } { 2 } = 2 .$$(4)2x^{2}-2\sqrt {2}x+1=0；$解:∵$ a = 2, b = - 2 \sqrt { 2 } , c = 1,$∴ b ^ { 2 } - 4 a c = 8 - 4 × 2 = 0 .∴$ x _ { 1 } = x _ { 2 } = \frac { 2 \sqrt { 2 } \pm \sqrt { 0 } } { 2 × 2 } = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } .$
类型三：b^{2}-4ac＜0
(5)2x^{2}-3x+2=0.解:∵ a = 2, b = - 3, c = 2,∴ b ^ { 2 } - 4 a c = 9 - 16 = - 7 ＜ 0 .
∴此方程无实数根.

答案：
(1)解:
∵$ a = 3, b = 2, c = - 2,∴ b ^ { 2 } - 4 a c = 4 - 4 \times 3 \times ( - 2 ) = 28 .∴ x = \frac { - 2 \pm \sqrt { 28 } } { 2 \times 3 } = \frac { - 1 \pm \sqrt { 7 } } { 3 } .∴ x _ { 1 } = \frac { - 1 + \sqrt { 7 } } { 3 } , x _ { 2 } = \frac { - 1 - \sqrt { 7 } } { 3 } .(2)解:∵ a = 2, b = - 3, c = - 1,∴ b ^ { 2 } - 4 a c = 9 - 4 \times 2 \times ( - 1 ) = 17 .∴ x = \frac { 3 \pm \sqrt { 17 } } { 2 \times 2 } .∴ x _ { 1 } = \frac { 3 + \sqrt { 17 } } { 4 } , x _ { 2 } = \frac { 3 - \sqrt { 17 } } { 4 } .(3)解:∵ a = 1, b = - 4, c = 4,∴ b ^ { 2 } - 4 a c = 16 - 16 = 0 .∴ x _ { 1 } = x _ { 2 } = \frac { 4 \pm \sqrt { 0 } } { 2 \times 1 } = \frac { 4 } { 2 } = 2 .(4)解:∵ a = 2, b = - 2 \sqrt { 2 } , c = 1,∴ b ^ { 2 } - 4 a c = 8 - 4 \times 2 = 0 .∴ x _ { 1 } = x _ { 2 } = \frac { 2 \sqrt { 2 } \pm \sqrt { 0 } } { 2 \times 2 } = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } .(5)解:∵ a = 2, b = - 3, c = 2,∴ b ^ { 2 } - 4 a c = 9 - 16 = - 7 ＜ 0 $.
∴此方程无实数根.

2. 用公式法解下列一元二次方程.
(1)(2024·成都市期中)$2x^{2}-3(x+1)=0$；解:整理,得 2 x ^ { 2 } - 3 x - 3 = 0 ,∵ a = 2, b = - 3, c = - 3,∴ \Delta = ( - 3 ) ^ { 2 } - 4 × 2 × ( - 3 ) = 33 ＞ 0 .则 x = \frac { 3 \pm \sqrt { 33 } } { 4 } ,即 x _ { 1 } = \frac { 3 + \sqrt { 33 } } { 4 } , x _ { 2 } = \frac { 3 - \sqrt { 33 } } { 4 } .(2)(2024·广州市期中)$(2x+1)^{2}=2x^{2}+x$.解:整理,得 2 x ^ { 2 } + 3 x + 1 = 0 .∵ a = 2, b = 3, c = 1,∴ \Delta = 9 - 4 × 2 × 1 = 1 ＞ 0 .则 x = \frac { - 3 \pm 1 } { 4 } ,即 x _ { 1 } = - \frac { 1 } { 2 } , x _ { 2 } = - 1 .

答案： $(1)解:整理,得 2 x ^ { 2 } - 3 x - 3 = 0 ,
∵ a = 2, b = - 3, c = - 3,
∴ \Delta = ( - 3 ) ^ { 2 } - 4 \times 2 \times ( - 3 ) = 33 ＞ 0 .
则 x = \frac { 3 \pm \sqrt { 33 } } { 4 } ,
即 x _ { 1 } = \frac { 3 + \sqrt { 33 } } { 4 } , x _ { 2 } = \frac { 3 - \sqrt { 33 } } { 4 } .
(2)解:整理,得 2 x ^ { 2 } + 3 x + 1 = 0 .
∵ a = 2, b = 3, c = 1,
∴ \Delta = 9 - 4 \times 2 \times 1 = 1 ＞ 0 .
则 x = \frac { - 3 \pm 1 } { 4 } ,即 x _ { 1 } = - \frac { 1 } { 2 } , x _ { 2 } = - 1 .$

3. (优生原创)下列最适合用公式法解的方程是 (D)
A. $(x+2)^{2}-1=0$
B. $4x^{2}=1$
C. $x^{2}+2x-2022=0$
D. $x^{2}-3\sqrt {2}x-1=0$

答案： D

4. 当$x=$$-1$或$\frac{1}{3}$时，代数式$3x^{2}+2x+5$的值为6.

答案： $ - 1 $$或$$ \frac { 1 } { 3 } $

5. 已知$x=1$是一元二次方程$(m+2)x^{2}+4x-m^{2}=0$的一个根，则m的值为3.

答案： 3