《2025年优生ABC九年级数学上册人教版》

1. 如图，$\odot O$的直径$AB$为$10cm$，弦$AC$为$6cm$，$\angle ACB$的平分线交$\odot O$于点$D$。求$BC$，$AD$的长。

答案：
解:如图，连接OD.
　　　　　
∵AB是直径,
∴∠ACB=∠ADB=90°.
在Rt△ABC中,BC= $\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}$ = $\sqrt{10^{2}-6^{2}}$ =8(cm).
∵CD平分∠ACB,
∴∠ACD=∠BCD.
∴∠AOD=∠BOD.
∴AD=BD.
又
∵在Rt△ABD中,AD²+BD²=AB²,
∴AD=BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×10 = 5$\sqrt{2}$(cm).
∴BC=8cm,AD=5$\sqrt{2}$cm.

2. 如图，四边形$ABCD$内接于$\odot O$，$AC$为$\odot O$的直径，$\angle ADB=\angle CDB$。
(1)试判断$\triangle ABC$的形状，并给出证明。
$\triangle ABC$为等腰直角三角形。
(2)若$AB=\sqrt{2}$，$AD=1$，求$CD$的长度。
$CD=$$\sqrt{3}$。

答案： 解:
(1)△ABC为等腰直角三角形.证明如下:
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC=90°,∠ADC=90°.
∵∠ADB=∠CDB,
∴∠ADB=45°.
∴∠ACB=∠ADB=45°.
∴△ABC为等腰直角三角形.
(2)由
(1)知△ABC是等腰直角三角形.
∵AB=$\sqrt{2}$,
∴BC=AB=$\sqrt{2}$.
∴AC= $\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}$ =2.
由
(1),得∠ADC=90°.
∵AD=1,
∴CD= $\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}$ =$\sqrt{3}$.

3. 如图，$AB$是$\odot O$直径，$CD$平分$\angle ACB$，过点$A$作$AF\perp CD$于点$F$，求证：$CF=AF=\frac{\sqrt{2}}{2}AC$。
证明:∵AB是直径，
∴∠ACB=90°.
∵CD平分∠ACB,
∴∠ACD=∠BCD=45°.
∵AF⊥CD,
∴△ACF为等腰直角三角形.
∴CF=AF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC.

答案： 证明:
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°.
∵CD平分∠ACB,
∴∠ACD=∠BCD=45°.
∵AF⊥CD,
∴△ACF为等腰直角三角形.
∴CF=AF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC.

4. 如图，$AB$是$\odot O$的直径，$CD$平分$\angle ACB$。求证：$CA+CB=\sqrt{2}CD$。

答案：
证明:如图，过点D作DM⊥AC交CA 的延长线于点M,过点D作DN⊥BC 于点N.
　　　　　
∵∠ACB=90°,CD平分∠ACB,
∴∠ACD=∠BCD=$\frac{1}{2}$×90°=45°.
∴△DCM和△DCN都是等腰直角三角形,AD=BD.
∴在Rt△DCM中,CM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD.
在Rt△DCN中,CN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD.
∴CM+CN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$(CD+CD)=$\sqrt{2}$CD.
∵∠ADM+∠ADN=90°,∠BDN+∠ADN=90°,
∴∠ADM=∠BDN.
在△ADM与△BDN中,
$\left\{\begin{array}{l}\angle ADM=\angle BDN,\\ \angle AMD=\angle BND,\\ AD=BD,\end{array}\right.$
∴△ADM≌△BDN(AAS).
∴AM=BN.
∴CM+CN=AC+BC=$\sqrt{2}$CD.

5. (优生原创)若点$I$是$\triangle ABC$的内心，求证：点$A$，$I$，$B$三点共圆，圆心为点$D$。(提示：证明$DA=DB=DI$)

答案：
证明:如图，连接AI.
　　　　　
∵点I是△ABC的内心，
∴∠CAI=∠BAI,∠ACI=∠BCI.
∴∠DAB=∠DBA.
∴AD=BD.
∵∠DAB=∠BCI,
∴∠DAB=∠ACI.
∴∠DAB+∠OAI=∠ACI+∠CAI.
∵∠AID=∠ACI+∠CAI,∠DAI=∠DAB+∠OAI,
∴∠AID=∠DAI.
∴DA=DI.
∴AD=BD=DI.
∴点A,I,B三点共圆,圆心为点D.