《2025年优生ABC九年级数学上册人教版》

3. 如图，已知抛物线$y=a(x-3)(x+6)$过点$A(-1,5)$和点$B(-5,m)$，与 x 轴的正半轴交于点 C。
（1）求 a，m 的值和点 C 的坐标。
（2）若点 P 是 x 轴上的点，连接 PB，PA，当$\frac {PB}{PA}=\frac {2}{5}$时，求点 P 的坐标。
（3）在抛物线上是否存在点 M，使 A，B 两点到直线 MC 的距离相等？若存在，求出满足条件的点 M 的横坐标；若不存在，请说明理由。

答案：
解:
(1) 把A(-1,5)代入函数解析式,
得 -20a=5, 解得a= -$\frac{1}{4}$.
∴y= -$\frac{1}{4}$(x - 3)(x + 6).
把B(-5,m)代入y= -$\frac{1}{4}$(x - 3)(x + 6),
得m= -$\frac{1}{4}$×(-8)×1=2,
∴B(-5,2).
令y=0, 得 -$\frac{1}{4}$(x - 3)(x + 6)=0,
解得x₁=3, x₂= -6.
∴C(3,0).
(2) 设P(b,0).
∵A(-1,5), B(-5,2),
∴PA²=(b + 1)² + 25,
PB²=(b + 5)² + 4.
∵$\frac{PB}{PA}$=$\frac{2}{5}$,
∴$\frac{PB²}{PA²}$=$\frac{4}{25}$.
∴4PA²=25PB²,
整理, 得(7b + 27)(3b + 23)=0,
解得b₁= -$\frac{27}{7}$, b₂= -$\frac{23}{3}$.
∴点P的坐标为(-$\frac{27}{7}$,0) 或(-$\frac{23}{3}$,0).
(3) 存在. 理由如下:
分两种情况讨论: ①如图1, 连接AB, 过点C作CM//AB交抛物线于点M,
　　　　
则A, B到直线CM的距离相等.
设直线AB的解析式为y=kx + b(k≠0).
∴$\begin{cases}-k + b = 5\\-5k + b = 2\end{cases}$,
解得$\begin{cases}k = \frac{3}{4}\\b = \frac{23}{4}\end{cases}$.
∴直线AB的解析式为y=$\frac{3}{4}$x + $\frac{23}{4}$.
由AB//CM, 可设直线CM的解析式为y=$\frac{3}{4}$x + n.
∵C(3,0),
∴n= -$\frac{9}{4}$.
则直线CM的解析式为y=$\frac{3}{4}$x - $\frac{9}{4}$.
联立$\begin{cases}y = \frac{3}{4}x - \frac{9}{4}\\y = - \frac{1}{4}(x - 3)(x + 6)\end{cases}$,
解得$\begin{cases}x = 3\\y = 0\end{cases}$(与点C重合, 舍去) 或$\begin{cases}x = -9\\y = -9\end{cases}$.
∴M(-9, -9).
②如图2, 当CM过AB的中点D时, S△BCD=S△ACD.
　　　
∴A, B到CM的距离相等.
∵A(-1,5), B(-5,2),
∴D(-3,$\frac{7}{2}$).
易得直线CD的解析式为y= -$\frac{7}{12}$x + $\frac{7}{4}$,
联立$\begin{cases}y = - \frac{7}{12}x + \frac{7}{4}\\y = - \frac{1}{4}(x - 3)(x + 6)\end{cases}$,
解得$\begin{cases}x = 3\\y = 0\end{cases}$(与点C重合, 舍去) 或$\begin{cases}x = - \frac{11}{3}\\y = \frac{35}{9}\end{cases}$.
∴M(-$\frac{11}{3}$,$\frac{35}{9}$).
综上, 满足条件的点M的横坐标为 -9 或 -$\frac{11}{3}$.

4. 每年九月开学前后，是文具盒的销售旺季，商场专门设置了文具盒专柜，李经理记录了 15 天的销售数量和销售单价，其中销售单价 y（单位：元/个）与时间第 x 天（x 为整数）的数量关系如图所示。日销量 p（单位：个）与时间第 x 天（x 为整数）的函数关系式为$p=\left\{\begin{array}{l} 20x+180(1≤x≤9),\\ -60x+900(9＜x≤15).\end{array}\right. $
（1）直接写出 y 与 x 的函数关系式，并注明自变量 x 的取值范围。
y与x(x为整数)的函数关系式为y=$\begin{cases}-x + 15(1\leq x\leq5)\\10(5＜x\leq15)\end{cases}$.
（2）设日销售额为 w（单位：元），求 w（单位：元）关于 x（单位：天）的函数解析式；在这 15 天中，哪一天销售额 w（单位：元）达到最大，最大销售额是多少元。
w关于x的函数解析式为：
①当1≤x≤5时，w=-20x² + 120x + 2700；
②当5＜x≤9时，w=200x + 1800；
③当9＜x≤15时，w=-600x + 9000。
在这15天中，第9天销售额达到最大，最大销售额是3600元。
（3）由于需要进货成本和人员工资等各种开支，如果每天的营业额低于 1800 元，文具盒专柜将亏损，求出哪几天文具盒专柜处于亏损状态？
文具盒专柜处于亏损状态是第13天、第14天、第15天.

答案： 解:
(1) y与x(x为整数)的函数关系式为y=$\begin{cases}-x + 15(1\leq x\leq5)\\10(5＜x\leq15)\end{cases}$.
(2) ①当1≤x≤5时, w=yp=(-x + 15)(20x + 180)= -20x² + 120x + 2700= -20(x - 3)² + 2880.
∵x是整数,
∴当x=3时, w有最大值为2880;
②当5＜x≤9时, w=yp=10(20x + 180)=200x + 1800.
∵x是整数, 200＞0,
∴当5＜x≤9时, w随x的增大而增大.
∴当x=9时, w有最大值为200×9 + 1800=3600;
③当9＜x≤15时, w=10(-60x + 900)= -600x + 9000.
∵-600＜0,
∴w随x的增大而减小.
∴x=9时, w有最大值为 -600×9 + 9000= -5400 + 9000=3600.
综上, 在这15天中, 第9天销售额达到最大, 最大销售额是3600元.
(3) ①当1≤x≤5时, w= -20(x - 3)² + 2880=1800,
解得x=3±$\sqrt{3}$.
∵7＜3$\sqrt{6}$＜8,
∴10＜3 + 3$\sqrt{6}$＜11.
∴当1≤x≤5时, 每天的营业额高于1800元;
②当5＜x≤9时, w=200x + 1800＜1800,
解得x＜0, 无解;
③当9＜x≤15时, w= -600x + 9000＜1800,
解得x＞12.
综上, 文具盒专柜处于亏损状态是第13天、第14天、第15天.