《2025年优生ABC九年级数学上册人教版》

1. (人教教材母题改编)一次足球联赛,赛制为双循环形式(每两队之间都赛两场),共要比赛90场,共有多少个队参加比赛?

答案： 解：设共有$x$个队参加比赛.
根据题意，得$x(x - 1) = 90$，
整理，得$(x - 10)(x + 9) = 0$，
解得$x_1 = 10$，$x_2 = - 9$（不符合题意，舍去）.
答：共有10个队参加比赛.

2. 在一次聚会上,规定每两个人见面必须握1次手.
(1)若参加聚会的人共握手36次,则参加聚会的人数为9人.
(2)小明由握手问题想到了另一个数学问题:若某一直线上共有m个点,则这些点中任意两点所连线段的总数为$\frac{m(m - 1)}{2}$.

答案：
(1)9
(2)$\frac{m(m - 1)}{2}$

3. 现代互联网技术的广泛应用,促进快递行业高速发展.据调查,某家快递公司今年3月份与5月份完成投递的快递总件数分别为6.3万件和8万件.设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为x,则下列方程正确的是 (C)
A. $6.3(1+2x)=8$
B. $6.3(1+x)=8$
C. $6.3(1+x)^{2}=8$
D. $6.3+6.3(1+x)+6.3(1+x)^{2}=8$

答案： C

4. 调查发现:某病毒会人传人,3人感染病毒后如果不隔离,那么经过两轮传染将会有75人感染,假设每轮每人传染的人数相同.
(1)求每轮每人传染的人数.
(2)如果不及时控制,经过三轮传染后总患病人数是多少人?

答案： 解：
(1)设每轮每人传染$x$人.
根据题意，得$3(1 + x)^2 = 75$，
解得$x_1 = - 6$（不符合题意，舍去），$x_2 = 4$.
答：每轮每人传染4人.
(2)$75(1 + x) = 75×(1 + 4) = 375$（人）.
答：经过三轮传染后总患病人数是375人.

5. 某水果商场经销一种高档水果,原价每千克50元,连续两次降价后每千克32元,若每次下降的百分率相同.
(1)求每次下降的百分率.
(2)若每千克盈利10元,每天可售出500kg,经市场调查发现,在进货价不变的情况下,商场决定采取适当的涨价措施,若每千克涨价1元,日销售量将减少20kg,现该商场要保证每天盈利6000元,且要尽快减少库存,那么每千克应涨价多少元?

答案： 解：
(1)设每次下降的百分率为$a$.
根据题意，得$50(1 - a)^2 = 32$，
解得$a_1 = 1.8$（不符合题意，舍去），$a_2 = 0.2 = 20\%$.
答：每次下降的百分率为20%.
(2)设每千克应涨价$x$元.
根据题意，得$(10 + x)(500 - 20x) = 6000$，
整理，得$x^2 - 15x + 50 = 0$，
解得$x_1 = 5$，$x_2 = 10$.
∵要尽快减少库存，
∴$x = 5$.
答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元.

6. 小阳、小杰和小凡到某超市参加社会实践活动,在活动中他们参与了某种水果的销售工作,已知该水果的进价为10元/kg,下面是他们在活动结束后的对话.
小阳:如果以12元/kg的价格销售,那么每天可售出300kg.
小杰:如果以15元/kg的价格销售,那么每天可获取利润750元.
小凡:我通过调查验证发现每天的销售量y(单位:kg)与销售单价x(单位:元)之间存在一次函数关系.
(1)求y(单位:kg)与x(单位:元)之间的函数关系式.
(2)当销售单价为何值时,该超市销售这种水果每天获得的利润达600元?

答案： 解：
(1)当单价为15元时，销售量为$\frac{750}{15 - 10} = 150$（kg）.
设$y$与$x$之间的函数关系式为$y = kx + b(k ≠ 0)$.
把$(12, 300)$，$(15, 150)$分别代入，
得$\begin{cases}300 = 12k + b\\150 = 15k + b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = - 50\\b = 900\end{cases}$.
∴$y$与$x$之间的函数关系式是$y = - 50x + 900$.
(2)根据题意，得$(- 50x + 900)(x - 10) = 600$，
解得$x_1 = 16$，$x_2 = 12$.
答：销售单价为12元或16元时，每天获得的利润达600元.