《2025年优生ABC九年级数学上册人教版》

10.已知关于x的方程$(m^{2}-1)x^{2}-(m+1)x+m=0$.
(1)m=1时,此方程是一元一次方程.
(2)m≠±1时,此方程是一元二次方程.

答案：
(1)$=1$
(2)$\neq \pm 1$

11.已知$x=1$是一元二次方程$ax^{2}+bx-2024=0$的一个解,且$a≠b$,则$\frac {a^{2}-b^{2}}{2a-2b}$的值为1012.

答案： 1 012

12.已知关于x的一元二次方程$(b+c)x^{2}-3cx-9a=0$的一个根是$x=3$,其中a,b,c分别为$\triangle ABC$三边的长,则$\triangle ABC$的形状是 (A)
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.无法确定

答案： A

13.(人教教材母题改编)凸四边形有2条对角线,一个凸多边形有14条对角线,设这个多边形的边数为x,根据题意列方程为$x^{2}-3 x-28=0$.

答案： 2 $x^{2}-3 x-28=0$

14.(数学文化情境)我国古代著作《算法统宗》中记载:“今有方田一段,圆田一段,共积二百五十二步,只云方面圆径适等.问方(面)圆径各若干?”意思是:现在有正方形田和圆形田各一块(如图所示),面积之和为252,只知道正方形田的边长与圆形田的直径相等.问正方形田的边长和圆形田的直径各为多少?设正方形田的边长为x,则可列出方程为$x^{2}+\pi\left(\frac{x}{2}\right)^{2}=252$.

答案： $x^{2}+\pi\left(\frac{x}{2}\right)^{2}=252$

15.(优生原创)已知关于x的一元二次方程$mx^{2}+nx-2=0$.
(1)若此方程有一个根为-1,则$m-n=$2.
(2)若此方程有一个根为k,则$2mk^{2}+2nk-2=$2.
(3)若$4m+2n=2$,则此方程必有一根为(C)
A.0 B.4 C.2 D.-2

答案：
(1)2
(2)2
(3)C

16.(新定义型阅读理解题)如图是加菲尔德证明勾股定理的证法,其$∠B=∠C=90^{\circ },\triangle ABE\cong \triangle ECD$,记$Rt\triangle ABE$的边分别为a,b,c.连接AD,则$AD=\sqrt {2}c$,这时我们把关于x的形如$ax^{2}+\sqrt {2}cx+b=0$的一元二次方程称为“勾股方程”.
(1)判断一元二次方程$x^{2}+\sqrt {10}x+2=0$是否为“勾股方程”,并说明理由.
答：是，理由如下：$\because$一元二次方程$x^{2}+\sqrt{10} x+2=0$，$\therefore a=1, b=2, c=\sqrt{10} ÷ \sqrt{2}=\sqrt{5}$，且$1^{2}+2^{2}=(\sqrt{5})^{2}$，即$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。
(2)已知$ax^{2}+\sqrt {2}cx+b=0$是关于x的“勾股方程”,且$x=-1$是此方程的一个根,四边形ABCD的周长为12,求abc的值.
答：$8\sqrt{2}$

答案： 解:
(1)一元二次方程$x^{2}+\sqrt{10} x+2=0$是“勾股方程”.
理由如下:$\because$一元二次方程$x^{2}+\sqrt{10} x+2=0$,
$\therefore a=1, b=2, c=\sqrt{10} \div \sqrt{2}=\sqrt{5}$,
且$1^{2}+2^{2}=(\sqrt{5})^{2}$,即$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
$\therefore$一元二次方程$x^{2}+\sqrt{10} x+2=0$是“勾股方程”.
(2)$\because x=-1$是方程$a x^{2}+\sqrt{2} c x+b=0$的一个根,
$\therefore a-\sqrt{2} c+b=0$. ①
$\because$四边形$A B C D$的周长为 12 ,
$\therefore 2 a+2 b+\sqrt{2} c=12$. ②
根据勾股定理,得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$. ③
(1)
(2)
(3)联立,得$a b=4, c=2 \sqrt{2}$,
$\therefore a b c=8 \sqrt{2}$.