《2025年优生ABC九年级数学上册人教版》

用配方法解一元二次方程的一般步骤:①化(二次项系数化为1);②移(把常数项移到等号右边,含未知数的项移到等号左边);③配(等号两边同时加上一次项系数一半的平方);④开方(将等式两边直接开平方);⑤解方程(解两个一元一次方程).

答案： ①二次项系数　②右　左　③一半的平方

1. 用配方法解下列方程.
(1)$x^{2}-8x+12=0$; 解：$x^{2}-8x=-12$，$x^{2}-8x+16=-12+16$，$(x-4)^{2}=4$，$x-4=\pm 2$，$\therefore x_{1}=6$，$x_{2}=2$。
(2)$x^{2}-5x+4=0$; 解：$x^{2}-5x=-4$，$x^{2}-5x+(\frac {5}{2})^{2}=(\frac {5}{2})^{2}-4$，$(x-\frac {5}{2})^{2}=\frac {9}{4}$，$x-\frac {5}{2}=\pm \frac {3}{2}$，$\therefore x_{1}=1$，$x_{2}=4$。
(3)(2024·深圳市期末)$x^{2}-2x=2x+1$; 解：移项，得$x^{2}-4x=1$。配方，得$x^{2}-4x+4=1+4$，即$(x-2)^{2}=5$。$\therefore x-2=\pm \sqrt {5}$。$\therefore x_{1}=2+\sqrt {5}$，$x_{2}=2-\sqrt {5}$。
(4)(2024·珠海市模拟)$x(x+10)=-9$. 解：$\because x(x+10)=-9$，$\therefore x^{2}+10x=-9$。配方，得$x^{2}+10x+25=-9+25$。即$(x+5)^{2}=16$。$\therefore x+5=4$或$x+5=-4$。$\therefore x_{1}=-1$，$x_{2}=-9$。

答案：
(1)解：$x^{2}-8x=-12$，
$x^{2}-8x+16=-12+16$，
$(x-4)^{2}=4$，
$x-4=\pm 2$，
$\therefore x_{1}=6$，$x_{2}=2$。
(2)解：$x^{2}-5x=-4$，
$x^{2}-5x+(\frac {5}{2})^{2}=(\frac {5}{2})^{2}-4$，
$(x-\frac {5}{2})^{2}=\frac {9}{4}$，
$x-\frac {5}{2}=\pm \frac {3}{2}$，
$\therefore x_{1}=1$，$x_{2}=4$。
(3)解：移项，得$x^{2}-4x=1$。
配方，得$x^{2}-4x+4=1+4$，
即$(x-2)^{2}=5$。
$\therefore x-2=\pm \sqrt {5}$。
$\therefore x_{1}=2+\sqrt {5}$，$x_{2}=2-\sqrt {5}$。
(4)解：$\because x(x+10)=-9$，
$\therefore x^{2}+10x=-9$。
配方，得$x^{2}+10x+25=-9+25$。
即$(x+5)^{2}=16$。
$\therefore x+5=4$或$x+5=-4$。
$\therefore x_{1}=-1$，$x_{2}=-9$。

2. 将方程$x^{2}+4x+3=0$化为$(x+a)^{2}=b$的形式,则$a+b$的值为3.

答案： 3

3. 若$x^{2}-x$与$\frac {1}{4}$互为相反数,则x的值为$\frac {1}{2}$.

答案： $\frac {1}{2}$

4. 用配方法解下列方程.
(1)$2x^{2}+4x+1=0$; 解：$x^{2}+2x=-\frac {1}{2}$，$x^{2}+2x+1=-\frac {1}{2}+1$，$(x+1)^{2}=\frac {1}{2}$，$x+1=\pm \frac {\sqrt {2}}{2}$，$\therefore x_{1}=\frac {\sqrt {2}-2}{2}$，$x_{2}=-\frac {\sqrt {2}+2}{2}$。
(2)(2024·灵宝市期中)$3x^{2}-12x=-12$; 解：整理，得$3x^{2}-12x+12=0$，$\therefore x^{2}-4x+4=0$。$\therefore (x-2)^{2}=0$。$\therefore x_{1}=x_{2}=2$。
(3)(2024·上海市月考)$3x^{2}-8x-3=0$; 解：$3x^{2}-8x-3=0$，$3x^{2}-8x=3$，$x^{2}-\frac {8}{3}x=1$，$x^{2}-\frac {8}{3}x+(\frac {4}{3})^{2}=1+(\frac {4}{3})^{2}$，$(x-\frac {4}{3})^{2}=\frac {25}{9}$，$x-\frac {4}{3}=\pm \frac {5}{3}$，$\therefore x_{1}=3$，$x_{2}=-\frac {1}{3}$。
(4)$3x^{2}-6\sqrt {2}x-12=0$. 解：$x^{2}-2\sqrt {2}x+2=4+2$，$(x-\sqrt {2})^{2}=6$，$x-\sqrt {2}=\pm \sqrt {6}$，$\therefore x_{1}=\sqrt {6}+\sqrt {2}$，$x_{2}=-\sqrt {6}+\sqrt {2}$。

答案：
(1)解：$x^{2}+2x=-\frac {1}{2}$，
$x^{2}+2x+1=-\frac {1}{2}+1$，
$(x+1)^{2}=\frac {1}{2}$，
$x+1=\pm \frac {\sqrt {2}}{2}$，
$\therefore x_{1}=\frac {\sqrt {2}-2}{2}$，$x_{2}=-\frac {\sqrt {2}+2}{2}$。
(2)解：整理，得$3x^{2}-12x+12=0$，
$\therefore x^{2}-4x+4=0$。
$\therefore (x-2)^{2}=0$。
$\therefore x_{1}=x_{2}=2$。
(3)解：$3x^{2}-8x-3=0$，
$3x^{2}-8x=3$，
$x^{2}-\frac {8}{3}x=1$，
$x^{2}-\frac {8}{3}x+(\frac {4}{3})^{2}=1+(\frac {4}{3})^{2}$，
$(x-\frac {4}{3})^{2}=\frac {25}{9}$，
$x-\frac {4}{3}=\pm \frac {5}{3}$，
$\therefore x_{1}=3$，$x_{2}=-\frac {1}{3}$。
(4)解：$x^{2}-2\sqrt {2}x+2=4+2$，
$(x-\sqrt {2})^{2}=6$，
$x-\sqrt {2}=\pm \sqrt {6}$，
$\therefore x_{1}=\sqrt {6}+\sqrt {2}$，$x_{2}=-\sqrt {6}+\sqrt {2}$。