《2025年暑假作业延边教育出版社七年级B版数学华师大版英语仁爱版河南专版》

24. 课堂回顾
在学习《三角形内角和定理》时,张老师鼓励同学们用不同的方法证明三角形内角和定理.
已知:如图 1,$\triangle ABC$.
求证:$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$.
下面是小明与小颖的想法.
小明的想法:把三个角“凑”到点 A 处,他过点 A 作直线$PQ// BC$(如图 2). 下面是他写的证明过程,请你在括号内填写依据.
证明:过点 A 作直线$PQ// BC$,则
$\angle 1 = \angle B$,$\angle 2 = \angle C$. (____)
$\because \angle 1 + \angle BAC + \angle 2 = 180^{\circ}$, (平角的定义)
$\therefore \angle B + \angle BAC + \angle C = 180^{\circ}$. (____)

小颖的想法:从之前撕角的验证过程中得到了思路启发(如图 3),在线段 AC 的右侧作$\angle ACE = \angle A$(如图 4). 你认为她的想法可行吗? 如果可行,请写出证明过程;如果不可行,请说明理由.

答案： - 小明证明过程括号内依次填：两直线平行，内错角相等；等量代换。
- 小颖的想法可行。证明过程如下：
因为$\angle ACE = \angle A$，所以$AB// CE$（内错角相等，两直线平行）。
所以$\angle B=\angle ECD$（两直线平行，同位角相等）。
因为$\angle ACE+\angle ECD+\angle ACB = 180^{\circ}$（平角的定义），且$\angle ACE=\angle A$，$\angle B=\angle ECD$，所以$\angle A+\angle B+\angle ACB = 180^{\circ}$。即三角形内角和为$180^{\circ}$。