《2025年王朝霞各地期末试卷精选九年级数学华师大版河南专版》

16. (8分)解方程：
(1)$2x^{2}+x - 5 = 0$；
(2)$x(x + 8)=3(x + 8)$．

答案： 解：
(1)a = 2，b = 1，c = -5.
∴Δ = 1² - 4×2×(-5) = 41 ＞ 0. (2分)
∴x = $\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-1\pm\sqrt{41}}{4}$，即x₁ = $\frac{-1 + \sqrt{41}}{4}$，x₂ = $\frac{-1 - \sqrt{41}}{4}$. (4分)
(2)移项，得x(x + 8) - 3(x + 8) = 0.
　分解因式，得(x - 3)(x + 8) = 0. (2分)
∴x - 3 = 0，或x + 8 = 0，即x₁ = 3，x₂ = -8. (4分)

17. (9分)如图,在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$D$是$BC$边上不同于$B,C$的一动点，过点$D$作$DE\perp AB$，垂足为点$E$，连结$AD$．
(1)求证：$\triangle DBE\sim\triangle ABC$；
(2)当$AC = 3$，$BC = 4$，$BD = 2$时，求$\triangle ADE$的面积．

答案： 解：
(1)证明：
∵DE⊥AB，∠C = 90°，
∴∠BED = ∠C = 90°.
∵∠B = ∠B，
∴△DBE∽△ABC. (4分)
(2)在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 3，BC = 4，
∴AB = $\sqrt{AC^{2}+BC^{2}} = 5$，S△ABC = $\frac{1}{2}$AC·BC = 6.
∵BD = 2，
∴S△ADB = $\frac{1}{2}$BD·AC = 3. (7分)
∵△DBE∽△ABC，
∴$\frac{S_{\triangle DBE}}{S_{\triangle ABC}} = (\frac{BD}{AB})^{2}=\frac{4}{25}$.
∴S△DBE = $\frac{4}{25}$S△ABC = $\frac{24}{25}$.
∴S△ADE = S△ADB - S△DBE = $\frac{51}{25}$. (9分)

18. (9分)某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度，丹丹同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下：
填写人：丹丹 综合实践活动报告 时间：2023年12月15日
活动任务:测量古树高度
活动过程
[步骤一]设计测量方案:
小组成员讨论后,画出如图1的测量草图,确定需测的数据．
[步骤二]准备测量工具:

自制测角仪,把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角；准备皮尺，如图2所示．
[步骤三]实地测量并记录数据:

如图3,丹丹同学站在离古树一定距离的地方,将这个仪器用手托起,拿到眼前,使视线沿着仪器的直径刚好到达古树的最高点．如图4,利用测角仪,测量后计算得出仰角$\alpha$，测出眼睛到地面的距离$AB$，测出所站地方到古树底部的距离$BD$．
$\alpha =$_______．经测量$AB = 1.54$m，$BD = 10$m．
[步骤四]计算古树高度$CD$．(结果精确到0.1 m．参考数据：$\sin40^{\circ}\approx0.643$，$\cos40^{\circ}\approx0.766$，$\tan40^{\circ}\approx0.839$．)
请结合图1、图4和相关数据写出$\alpha$的度数并完成[步骤四]．

答案： 解：
∵测角仪显示的度数为50°，
∴α = 90° - 50° = 40°. (3分)
∵AB⊥BD，ED⊥BD，CE⊥AE，
∴∠ABD = ∠EDB = ∠AED = 90°.
∴四边形ABDE是矩形. (5分)
∴AE = BD = 10 m，ED = AB = 1.54 m.
∴在Rt△CAE中，CE = AE·tanα = 8.39 m. (7分)
∴CD = CE + ED = 8.39 + 1.54 ≈ 9.9(m).
　答：古树高度CD约为9.9 m. (9分)