《2025年王朝霞各地期末试卷精选九年级数学华师大版河南专版》

19. （9分）开封铁塔（如图1）始建于北宋皇佑元年（公元1049年），已有近千年历史. 它位于铁塔公园的东北部，是园内重要的文物，也是主要的景点，是1961年我国首批公布的国家重点保护文物之一，享有“天下第一塔”之称，是八角十三层建筑. 在九年级学习过三角函数的知识后，小张同学为了巩固学习成果，决定利用侧倾器来测量铁塔的高度. 如图2，小张同学在点$E$处测得铁塔$AF$的顶部$A$的仰角为$65^{\circ}$，在铁塔另一侧取点$G(E,F,G$三点在同一直线上），且$EG = 80\text{ m}$，在点$G$处测得铁塔$AF$的顶部$A$的仰角为$45^{\circ}$，已知侧倾器$BE,CG$的高度是$1.5\text{ m}$，求铁塔的高度（结果精确到1 m. 参考数据：$\sin65^{\circ}\approx0.91$，$\cos65^{\circ}\approx0.42$，$\tan65^{\circ}\approx2.14$）.

答案：
解：如图，连结BC交AF于点D.

由题意可知，四边形BEFD和四边形DFGC均为矩形，∠ABD = 65°，∠ACD = 45°，BC = EG = 80 m，BE = CG = DF = 1.5 m.
设BD为x m，则CD = (80 - x)m.
∵在Rt△ABD中，tan∠ABD = $\frac{AD}{BD}$，
∴AD = BD·tan∠ABD ≈ 2.14x. （4分）
∵∠ACD = 45°，∠ADC = 90°，
∴∠DAC = 45°.
∴AD = CD = 80 - x.
∴2.14x = 80 - x. 解得x ≈ 25.48. （7分）
∴AD = 80 - x = 54.52.
∴AF = AD + DF = 54.52 + 1.5 = 56.02 ≈ 56(m).
答：铁塔的高度约为56 m. （9分）

20. （9分）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱. 某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售. 经统计，6月份的销售量为256件，8月份的销售量为400件.
(1)求该款吉祥物6月份到8月份销售量的月平均增长率.
(2)从9月份起，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查，发现该款吉祥物每件每降价1元，月销售量就会增加20件. 当该款吉祥物每件的售价为多少元时，月销售利润达8400元？

答案： 解：
(1)设该款吉祥物6月份到8月份销售量的月平均增长率为x. （1分）
根据题意，得256(1 + x)² = 400.
解得x1 = 0.25 = 25%，x2 = -2.25(不符合题意，舍去).
答：该款吉祥物6月份到8月份销售量的月平均增长率为25%. （4分）
(2)设该款吉祥物每件的售价为y元，则每件的销售利润为(y - 35)元.
根据题意，得(y - 35)[400 + 20(58 - y)] = 8400.
整理，得y² - 113y + 3150 = 0.
解得y1 = 50，y2 = 63(不符合题意，舍去).
答：当该款吉祥物每件的售价为50元时，月销售利润达8400元. （9分）