《2025年王朝霞各地期末试卷精选九年级数学华师大版河南专版》

21. （9分）如图，某项绿化工程中有一块长为60 m，宽为40 m的矩形空地，计划在其中修建四块相同的矩形绿地，四块绿地之间及周边都留有人行通道.
（1）计划要求四块相同的矩形绿地面积之和为1836 m²，且四块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度是多少米？
（2）实际绿化时修改方案为：①保证横向人行通道与原计划设计的宽度一样；②四块相同的矩形绿地都与整个空地相似；③三条纵向人行通道宽度相等. 请你设计一种纵向人行通道的宽度，恰能满足上述方案.

答案： 解：
(1)设人行通道的宽度是$x\ m$，则四块绿地可合成长为$(60 - 3x)\ m$，宽为$(40 - 3x)\ m$的矩形。
根据题意，得$(60 - 3x)(40 - 3x)=1836$。
解得$x_{1}=2$，$x_{2}=\frac{94}{3}$（不符合题意，舍去）。 (4分)
答：人行通道的宽度是$2\ m$。 (5分)
(2)设纵向人行通道的宽度是$y\ m$，则每块矩形绿地的长为$\frac{60 - 3y}{2}\ m$，宽为$\frac{40 - 2\times3}{2}=17(m)$。
根据题意，得$\frac{\frac{60 - 3y}{2}}{17}=\frac{60}{40}$。
解得$y = 3$。 (8分)
答：当纵向人行通道的宽度为$3\ m$时，恰能满足上述方案。 (9分)

22. （10分）风力发电是风靡全球的自然能源应用绿色设备，在我国应用广泛. 如图是某风力发电设备示意图，其相同的三个叶片均匀分布（$\angle AOB = 120^{\circ}$），水平地面上的点$M$在旋转中心$O$的正下方. 某一时刻，太阳光线恰好与扇叶$OA$，$OB$在同一平面上，在地上设置3 m高的标杆$EF$影长$FG = 4$ m. 此时太阳光垂直照射叶片$OB$，整个风力发电设备的影子$MD$最长达到120 m. 已知风力发电杆高$OM$为60 m，求扇叶$OB$的长和此时点$B$到地面的距离.

答案：
解：过点$O$作$OC// BD$，交$DM$于点$C$，过点$C$作$CH\perp BD$，垂足为$H$，过点$B$作$BN\perp MO$，交$MO$的延长线于点$N$，如图。
　　　
由题意，得$\angle BOC = 90^{\circ}$，$OM\perp MD$，$OB = CH$。
∵$3\ m$高的标杆$EF$影长$FG = 4$，
∴$\frac{EF}{FG}=\frac{OM}{MC}$，即$\frac{3}{4}=\frac{60}{CM}$。
∴$CM = 80$。
在$Rt\triangle OMC$中，$OC=\sqrt{OM^{2}+MC^{2}}=\sqrt{60^{2}+80^{2}} = 100$，
∵$MD = 120$，
∴$CD = MD - MC = 120 - 80 = 40$。 (3分)
∵$OC// BD$，
∴$\angle OCM=\angle D$。
∵$\angle OMC=\angle CHD = 90^{\circ}$，
∴$\triangle OMC\sim\triangle CHD$。
∴$\frac{CH}{CD}=\frac{OM}{OC}$，即$\frac{CH}{40}=\frac{60}{100}$。
∴$CH = 24$。
∴$OB = CH = 24$。 (5分)
∵$\angle OMC = 90^{\circ}$，
∴$\angle MOC+\angle OCM = 90^{\circ}$。
∵$\angle BOC = 90^{\circ}$，
∴$\angle MOC+\angle BON = 180^{\circ}-\angle BOC = 90^{\circ}$。
∴$\angle BON=\angle OCM$。
∵$\angle BNO=\angle OMC = 90^{\circ}$，
∴$\triangle OMC\sim\triangle BNO$。 (8分)
∴$\frac{CM}{NO}=\frac{OC}{OB}$，即$\frac{80}{NO}=\frac{100}{24}$。
∴$NO = 19.2$，符合题意。
∴$MN = NO + OM = 19.2 + 60 = 79.2(m)$。
∴点$B$到地面的距离为$79.2\ m$。 (10分)

23. （10分）小明在学习中发现，当垂直线段出现在四边形中间时，通常有比较简明的结论. 下面是他的发现过程，请补充并完成其中的问题.
（1）如图1，在正方形$ABCD$中，$E$为$AB$上一点，连结$DE$，过点$A$作$AG\bot DE$于点$F$，交$BC$于点$G$，则$AG$与$DE$的数量关系是：$AG$_______$DE$（选填“＞”“=”或“＜”）.
（2）①如图2，在矩形$ABCD$中，$AB = nBC$，$M$，$N$为$AB$，$CD$上的点，连结$MN$，过点$D$作$DE\bot MN$于点$F$，交$BC$于点$E$. 小明发现，过点$M$作$MG\bot CD$于点$G$，可以得到$MN$与$DE$的数量关系. 这个数量关系是什么？请说明理由.
②填空：由①可得，顶点分别在矩形的每一组对边（或延长线）上且互相垂直的两条线段的比，等于_______.
③应用上述结论解决问题：如图3，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = 8$，$BC = 6$，点$D$是$AB$的中点，连结$CD$，过点$B$作$CD$的垂线$BE$，交直线$AC$于点$E$，垂足是点$F$，直接写出$BE$的长度.

答案：
解：
(1)$=$ (2分)
[解析]
∵四边形$ABCD$为正方形，
∴$AD = BC = AB$，$\angle DAB=\angle B = 90^{\circ}$。
∴$\angle DAF+\angle BAG = 90^{\circ}$。
∵$AG\perp DE$，
∴$\angle ADE+\angle DAF = 90^{\circ}$。
∴$\angle ADE=\angle BAG$。
∴$\triangle ADE\cong\triangle BAG$。
∴$AG = DE$。
(2)①$MN$与$DE$的数量关系是$\frac{MN}{DE}=\frac{1}{n}$。(3分)
理由：
∵四边形$ABCD$为矩形，
∴$\angle A=\angle ADC=\angle C = 90^{\circ}$。
∵$MG\perp CD$，
∴四边形$ADGM$为矩形。
∴$MG = AD$。
∵$DE\perp MN$，
∴$\angle FND+\angle FDN = 90^{\circ}$。
∵$\angle C = 90^{\circ}$，
∴$\angle FDN+\angle DEC = 90^{\circ}$。
∴$\angle FND=\angle DEC$。
∵$\angle MGN=\angle C = 90^{\circ}$，
∴$\triangle MGN\sim\triangle DCE$。
∴$\frac{MN}{DE}=\frac{MG}{CD}$。
∵$AB = nBC$，$CD = AB$，$AD = BC$，
∴$\frac{MN}{DE}=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{n}$。 (6分)
②矩形的两邻边之比 (8分)
③$BE=\frac{15}{2}$。 (10分)
[解析]延长$CD$至点$M$，使$DM = CD$，连结$AM$，$BM$，如图。
　　　　　　　
∵点$D$是$AB$的中点，
∴$AD = DB$。
∵$DM = CD$，
∴四边形$ACBM$为平行四边形。
∵$\angle ACB = 90^{\circ}$，
∴四边形$ACBM$为矩形。
∴$BM = AC = 8$。
∴$CM=\sqrt{BC^{2}+BM^{2}} = 10$。
∵$BE\perp CM$，四边形$ACBM$为矩形，
∴由②得$\frac{BE}{CM}=\frac{BC}{BM}$，即$\frac{BE}{10}=\frac{6}{8}$。
∴$BE=\frac{15}{2}$。