《2025年王朝霞各地期末试卷精选九年级数学华师大版河南专版》

18. 已知抛物线$y = ax^{2}-2ax - 3 + 2a^{2}(a \neq 0)$.
(1)求这条抛物线的对称轴；
(2)若该抛物线的顶点在$x$轴上，求其解析式；
(3)若点$P(m,y_{1})$，$Q(3,y_{2})$在该抛物线上，且$y_{1} ＜ y_{2}$，求$m$的取值范围.

答案：
(1)$\because$抛物线$y = ax^{2}-2ax - 3 + 2a^{2}=a(x - 1)^{2}+2a^{2}-a - 3$，$\therefore$这条抛物线的对称轴为直线$x = 1$.
(2)$\because$这条抛物线的对称轴为直线$x = 1$，$\therefore$抛物线顶点的横坐标为1.$\because$抛物线的顶点在$x$轴上，$\therefore$当$x = 1$时，$y = 2a^{2}-a - 3 = 0$. 解得$a_{1}=\frac{3}{2}$，$a_{2}=-1$.$\therefore$抛物线解析式为$y=\frac{3}{2}x^{2}-3x+\frac{3}{2}$或$y=-x^{2}+2x - 1$.
(3)$\because$抛物线的对称轴为直线$x = 1$，$\therefore$点$Q(3,y_{2})$关于$x = 1$对称的点的坐标为$(-1,y_{2})$. 当$a ＞ 0$时，$\because y_{1}＜y_{2}$，$\therefore -1 ＜ m ＜ 3$. 当$a ＜ 0$时，$\because y_{1}＜y_{2}$，$\therefore m ＜ -1$或$m ＞ 3$.

19.〔安阳市〕如图，抛物线$y = ax^{2}+bx + 3$与$x$轴交于点$A$，$B(1,0)$，与$y$轴交于点$C$，且$OA = OC$.
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)当$k \leq x ＜ 0$，且$k ＜ -1$时，$y$的最大值和最小值分别为$m$，$n$，且$m + n = -1$，求$k$的值.

答案：
(1)在$y = ax^{2}+bx + 3$中，令$x = 0$，得$y = 3$.$\therefore$点$C$的坐标为$(0,3)$.$\therefore OC = 3$.$\because OA = OC$，点$A$在$x$负半轴上，$\therefore$点$A$的坐标为$(-3,0)$. 把点$A(-3,0)$，$B(1,0)$代入$y = ax^{2}+bx + 3$，得$\begin{cases}9a - 3b + 3 = 0,\\a + b + 3 = 0.\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-1,\\b=-2.\end{cases}$$\therefore$抛物线的解析式为$y=-x^{2}-2x + 3$.$\because y=-x^{2}-2x + 3=-(x + 1)^{2}+4$，$\therefore$抛物线的顶点坐标为$(-1,4)$.
(2)$\because k\leqslant x ＜ 0$，且$k ＜ -1$，$\therefore$顶点$(-1,4)$在该段抛物线上.$\therefore y$的最大值为4，即$m = 4$.$\because m + n=-1$，$\therefore n=-1 - m=-5$. 令$y=-x^{2}-2x + 3=-5$，解得$x_{1}=-4$，$x_{2}=2$.$\because k ＜ -1$，$\therefore k=-4$.