《2025年王朝霞各地期末试卷精选九年级数学华师大版河南专版》

21. （9分）如图，已知在$\triangle ABC$中，$\angle B = 45^{\circ}$，$CD$是$AB$边上的中线，$CD = 5$，$\sin\angle BCD=\frac{3}{5}$．
（1）求$BC$的长；
（2）求$\angle ACB$的正切值．

答案：
解：
(1)如图所示，过点D作DE⊥BC于点E.
∴∠BED = ∠CED = 90°.
∴∠B = ∠BDE = 45°.
∴BE = DE.
∵sin∠BCD = $\frac{DE}{CD}$ = $\frac{3}{5}$，CD = 5，
∴DE = BE = 3. 在Rt△CED中，由勾股定理，得CE = $\sqrt{CD² - DE²}$ = 4.
∴BC = BE + CE = 7.
(4分)
　　　　　　　
(2)如图所示，过点A作AF⊥BC于点F.
∴∠AFB = 90°.
∵∠BED = 90°，∠B = ∠B，
∴△BDE∽△BAF.
∵D为AB的中点，
∴$\frac{BD}{BA}$ = $\frac{DE}{AF}$ = $\frac{BE}{BF}$ = $\frac{1}{2}$.
∴AF = 2DE = 6，BF = 2BE = 6.
∴CF = BC - BF = 1.
∴在Rt△ACF中，tan∠ACB = $\frac{AF}{CF}$ = 6.
(9分)

22. （10分）【综合与实践】小东在复习二次函数时，遇到这样一个问题：
如图1，一个横截面为抛物线形的公路隧道，其底部宽12 m，最大高度6 m．车辆双向通行，规定车辆必须在中心线两侧、距离道路边缘2 m的范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于$\frac{1}{3}$ m的空隙．你能否根据这些要求，建立适当的平面直角坐标系，应用已有的函数知识，确定通过隧道车辆的高度限制？
如图2，小东以$O$点为原点，地面$OM$所在的直线为$x$轴建立平面直角坐标系，请你帮小东解决问题：
（1）求出这条抛物线的解析式，并注明自变量$x$的取值范围．
（2）求出通过隧道车辆的高度限制应为多少米？
（3）老师说：“隧道检修过程中，计划搭建一个由矩形$ABCD$的三条边$AD—DC—CB$组成的‘支撑架’，使$C$，$D$两点在抛物线上，$A$，$B$两点在地面$OM$上，如图3所示．”为了筹备材料，需求出这个“支撑架”三根木杆$AD$，$DC$，$CB$的长度之和的最大值是多少，请你帮忙计算一下．

答案： 解：
(1)
∵该公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6 m，底部宽度OM为12 m，
∴P(6,6).
设抛物线的解析式为y = a(x - 6)² + 6.
∵抛物线y = a(x - 6)² + 6经过点(0,0)，
∴0 = a(0 - 6)² + 6.
解得a = -$\frac{1}{6}$.
∴抛物线的解析式为y = -$\frac{1}{6}$(x - 6)² + 6(0 ≤ x ≤ 12).
(3分)
(2)当x = 2时，y = -$\frac{1}{6}$(2 - 6)² + 6 = $\frac{10}{3}$.
∵$\frac{10}{3}$ - $\frac{1}{3}$ = 3(m)，
∴通过隧道车辆的高度限制应为3 m.
(6分)
(3)设点A(m,0)，则D$[m,-\frac{1}{6}(m - 6)² + 6]$,B(12 - m,0).
∴AD + DC + CB = 2AD + DC = 2×$[-\frac{1}{6}(m - 6)² + 6]$ + 12 - 2m = -$\frac{1}{3}m² + 2m + 12$ = -$\frac{1}{3}$(m - 3)² + 15.
(9分)
∵-$\frac{1}{3}$ ＜ 0，
∴当m = 3时，AD + DC + CB有最大值，最大值是15.
∴这个“支撑架”三根木杆AD，DC，CB的长度之和的最大值是15 m.
(10分)

23. （10分）综合与探究
（1）【教材呈现】下面是华师版九上教材80页的一道习题，请完成证明．
如图1，在四边形$ABCD$中，$AD = BC$，$P$是对角线$BD$的中点，$M$是$DC$的中点，$N$是$AB$的中点．
求证：$\angle PMN=\angle PNM$．
（2）【拓展延伸】
如图2，在四边形$ABCD$中，$AD = BC$，$M$是$DC$的中点，$N$是$AB$的中点，连结$NM$并延长分别与$AD$，$BC$的延长线交于点$E$，$F$．求证：$\angle AEN=\angle F$．
（3）【问题解决】
如图3，在$\triangle ABC$中，$AC\lt AB$，点$D$在$AC$上，$AD = BC$，$M$是$DC$的中点，$N$是$AB$的中点，连结$NM$并延长，与$BC$的延长线交于点$G$，连结$GD$．若$DC = 2$，当$\triangle CGD$是直角三角形时，直接写出$DG$的长．

答案：
解：
(1)证明：
∵P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点，
∴PN = $\frac{1}{2}AD$，PM = $\frac{1}{2}BC$.
∵AD = BC，
∴PN = PM.
∴∠PMN = ∠PNM.
(3分)
(2)证明：如图①，连结BD，取BD的中点H，连结HM，HN.
　　　　　　　
∵M是DC的中点，N是AB的中点，
∴HM//BC，HN//AD.
∴∠HMN = ∠F，∠AEN = ∠HNM.
由
(1)得∠HMN = ∠HNM.
∴∠AEN = ∠F.
(8分)
(3)当△CGD是直角三角形时，DG的长为$\sqrt{3}$或$\sqrt{5}$.
(10分)
【解析】如图②，连结BD，取BD的中点F，连结FM，FN.
　　　　
由
(1)得∠FMN = ∠FNM.
同
(2)可知，FM//BG，FN//AM.
∴∠FMN = ∠CGM，∠FNM = ∠AMN.
∴∠CGM = ∠AMN.
∵∠AMN = ∠GMC，
∴∠CGM = ∠GMC.
∴CG = CM.
∵DC = 2，M是DC的中点，
∴DM = CM = $\frac{1}{2}CD$ = 1.
∴CG = CM = 1.
∵△CGD是直角三角形，
∴分两种情况：①当∠DGC = 90°时，
由勾股定理，得DG = $\sqrt{CD² - CG²}$ = $\sqrt{2² - 1²}$ = $\sqrt{3}$.
②当∠DCG = 90°时，
由勾股定理，得DG = $\sqrt{CD² + CG²}$ = $\sqrt{2² + 1²}$ = $\sqrt{5}$.
综上所述，当△CGD是直角三角形时，DG的长为$\sqrt{3}$或$\sqrt{5}$.