《2025年王朝霞各地期末试卷精选九年级数学华师大版河南专版》

17. （9分）暴雨过后，校园的两棵风景树同时侧倾在一起，如图，较低的树$CD$正好抵着高树$AB$的中点$D$. 小明想知道高树比低树高多少（即$AB - CD$的值），就通过测量得到了以下数据并进行计算：
（1）$BC = 10.5$m，$\angle B\approx53^{\circ}$，$\angle C\approx45^{\circ}$，取$\tan53^{\circ}\approx\frac{4}{3}$，他们设$DE = 4x$m，则用含$x$的代数式表示$BE =$_______m，$EC =$_______m. 由此列方程求解得$x =$_______.
（2）应用（1）的数据，求高树比低树高多少米（$\sqrt{2}$取1.4）.

答案： 解：
(1)$3x$ $4x$ $1.5$ (3分)
[解析]
∵$\angle C\approx45^{\circ}$，$DE\perp BC$，
∴$\angle CDE = 45^{\circ}$，即$CE = DE = 4x\ m$。
∵$\tan53^{\circ}\approx\frac{4}{3}$，$\angle B\approx53^{\circ}$，
∴$BE = 3x\ m$。
∵$BC = 10.5\ m$，$BC = BE + CE$，
∴$3x + 4x = 10.5$。解得$x = 1.5$。
(2)由
(1)得，$BE = 3\times1.5 = 4.5(m)$，$CE = 4\times1.5 = 6(m)$，$DE = 4\times1.5 = 6(m)$。
在$Rt\triangle BDE$中，由勾股定理，得$BD=\sqrt{DE^{2}+BE^{2}} = 7.5\ m$，在$Rt\triangle CDE$中，由勾股定理，得$CD=\sqrt{DE^{2}+CE^{2}} = 6\sqrt{2}\approx8.4(m)$。 (6分)
∵点$D$是$AB$的中点，
∴$AB = 2BD = 15\ m$。
∴$AB - CD = 15 - 8.4 = 6.6(m)$。
答：高树比低树高$6.6\ m$。 (9分)

18. （9分）如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB$为直角，$CD\bot AB$于点$D$. 在$Rt\triangle ADC$中，$E$是$AC$的中点，$ED$的延长线与$CB$的延长线交于点$F$.
（1）求证：$\triangle FDC\sim\triangle FBD$；
（2）若$FD = 6\sqrt{5}$，$FB = 10$，求$BC$的长.

答案： 解：
(1)证明：
∵$\angle ACB$为直角，$CD\perp AB$于点$D$，
∴$\angle ADC=\angle ACB = 90^{\circ}$。
∴$\angle FCD=\angle A = 90^{\circ}-\angle ACD$。
∵$E$是$AC$的中点，
∴$DE = AE = CE=\frac{1}{2}AC$。
∴$\angle FDB=\angle EDA=\angle A$。
∴$\angle FCD=\angle FDB$。
∵$\angle F=\angle F$，
∴$\triangle FDC\sim\triangle FBD$。 (5分)
(2)
∵$\triangle FDC\sim\triangle FBD$，
∴$\frac{FD}{FC}=\frac{FB}{FD}$。
∵$FD = 6\sqrt{5}$，$FB = 10$，
∴$FC=\frac{FD^{2}}{FB}=\frac{(6\sqrt{5})^{2}}{10}=18$。
∴$BC = FC - FB = 18 - 10 = 8$。
∴$BC$的长为8。 (9分)

19. （9分）为增强学生的爱国情感，某学校组织学生参加了“爱国知识答题”活动，该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（优秀），B（良好），C（一般），D（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图.
根据图中所给信息解答下列问题：
（1）这次抽样调查共抽取_______名学生，条形统计图中的$m =$_______；
（2）将条形统计图补充完整，并求出在扇形统计图中C等级所在扇形对应的圆心角的度数；
（3）该校有1000名学生，估计该校学生答题成绩良好以上的有多少名；
（4）答题成绩为A等级且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中有两名男生、两名女生，学校从中随机抽出两名学生去做安全知识宣传员，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好都是男生的概率.

答案：
解：
(1)$50$ $7$ (2分)
[解析]由统计图可得，这次抽样调查共抽取$16\div32\% = 50$（名），
$m = 50\times14\% = 7$。
(2)补充完整的条形统计图如图所示。
　　　　　学生答题成绩条形统计图
　　　　　
$C$等级所在扇形对应的圆心角的度数为$360^{\circ}\times\frac{15}{50}=108^{\circ}$。 (5分)
(3)$1000\times(24\% + 32\%) = 1000\times56\% = 560$（名）。
∴估计该校学生答题成绩良好以上的有560名。 (7分)
(4)记两名男生分别为男$_1$，男$_2$，两名女生为女$_1$，女$_2$。根据题意，可画树状图列举出所有可能出现的结果如下：
　　第一名学生
　　　　　　 第二名学生
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中抽出的两名学生恰好都是男生的结果有2种，
∴$P$（抽出的两名学生恰好都是男生）$=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。 (9分)