《2025年王朝霞各地期末试卷精选九年级数学华师大版河南专版》

17. （9分）为丰富课余生活，某校根据学生需求，组建了四个社团供选择：A（合唱社团）、B（硬笔书法社团）、C（街舞社团）、D（面点社团）．学生从中任意选择两个社团参加活动．
（1）小宇和小江在选择过程中，首先都选了社团C（街舞社团），第二个社团他俩决定随机选择，请用列表或画树状图法，求他俩选到相同社团的概率；
（2）学校计划从这四个社团中任选两个社团进行成果展示，请用列表或画树状图法求出学校同时选中A（合唱社团）和C（街舞社团）的概率．

答案：
解：
(1)根据题意可画树状图表示出所有可能出现的结果如下.
　　　　
(3分)
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中他俩选到相同社团的结果有3种.
∴P(他俩选到相同社团) = $\frac{3}{9}$ = $\frac{1}{3}$.
(4分)
(2)记学校选择的两个社团分别为第一个、第二个. 根据题意，画树状图表示出所有可能出现的结果如下.
　　
(8分)
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中学校同时选中A(合唱社团)和C(街舞社团)的结果有2种.
∴P[学校同时选中A(合唱社团)和C(街舞社团)] = $\frac{2}{12}$ = $\frac{1}{6}$.
(9分)

18. （9分）建于清咸丰四年的龙角塔，位于诸葛亮躬耕地南阳卧龙岗内，是武侯祠的一个重要人文景观．小豫和小宛利用所学知识测量龙角塔高度，如图，小豫站在龙角塔（$AB$）旁的水平地面上$D$处，小宛在$B$，$D$之间的水平地面上放置一个平面镜并来回移动，当平面镜移动到点$E$时，小豫刚好在平面镜内看到龙角塔顶端$A$，此时测得$DE = 0.9$ m，小豫眼睛距地面高度$CD = 1.8$ m；然后小宛沿$BD$前进至点$G$处用测角仪测得龙角塔顶端$A$处的仰角$\alpha = 40^{\circ}$，已知测角仪$FG$高度为1.6 m，小宛行走的距离$EG = 6$ m，点$G$，$D$，$E$，$B$在同一水平线上，$AB$，$CD$，$FG$都垂直$BG$．请你根据以上信息求龙角塔的高（$AB$的长）（结果精确到1 m，参考数据：$\sin40^{\circ}\approx0.64$，$\cos40^{\circ}\approx0.77$，$\tan40^{\circ}\approx0.84$）．

答案：
解：如图，过点F作FH⊥AB于点H.
　　　　　　
∵AB⊥BG，FG⊥BG，FH⊥AB，
∴四边形BGFH是矩形.
∴BH = FG = 1.6，BG = FH. 设AB = x m. 由题可知，∠CED = ∠AEB，∠CDE = ∠ABE.
∴△CDE∽△ABE.
(4分)
∴$\frac{CD}{DE}$ = $\frac{AB}{BE}$，即$\frac{1.8}{0.9}$ = $\frac{x}{BE}$.
∴BE = $\frac{1}{2}x$.
∴HF = BG = EG + BE = 6 + $\frac{1}{2}x$.
∵在Rt△AHF中，α = 40°，AH = x - 1.6，
∴AH = HF·tan40° ≈ $(6 + \frac{1}{2}x)$×0.84.
∴x - 1.6 = $(6 + \frac{1}{2}x)$×0.84.
∴x ≈ 11.
答：龙角塔的高约为11 m.
(9分)