《2025年王朝霞各地期末试卷精选九年级数学华师大版河南专版》

9. 在如图所示的每个小方格均为小正方形的网格中，点$A$，$B$，$C$都在格点上，则$\angle ABC$的正切值是 ( )


A. $\frac{2}{3}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
D. $\frac{2\sqrt{13}}{13}$

答案： [解析]设网格中每个小正方形的边长为1，则$AC = \sqrt{2^{2}+2^{2}} = 2\sqrt{2}$，$BC = \sqrt{3^{2}+3^{2}} = 3\sqrt{2}$，$AB = \sqrt{1^{2}+5^{2}} = \sqrt{26}$。
∵$(3\sqrt{2})^{2}+(2\sqrt{2})^{2}=(\sqrt{26})^{2}$，即$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，
∴$\triangle ABC$为直角三角形，且$\angle ACB = 90^{\circ}$。
∴$\tan\angle ABC=\frac{AC}{BC}=\frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}=\frac{2}{3}$。故选A。

10. 如图，在$\triangle ABC$中，$E$，$F$分别是$AB$和$AC$的中点，$P$是$BC$所在直线上任意一点，当点$P$在直线$BC$上移动时，下列结论不正确的是 ( )


A. $\triangle EFP$的周长总等于$\triangle AEF$的周长
B. $PE + PF$可能等于$\frac{1}{2}(AB + AC)$
C. $S_{\triangle EFP}=\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}$
D. $S_{\triangle EFP}=S_{\triangle AEF}$

答案：
[解析]根据题意，分两种情况：①当$P$是$BC$中点时，
∵$E$是$AB$的中点，$F$是$AC$的中点，
∴$PE$，$PF$是$\triangle ABC$的中位线。
∴$PE=\frac{1}{2}AC = AF$，$PF=\frac{1}{2}AB = AE$。
∴$PE + PF=\frac{1}{2}(AC + AB)=AF + AE$，此时$C_{\triangle EFP}=C_{\triangle AEF}$。
②当$P$不是$BC$中点时，$C_{\triangle EFP}\neq C_{\triangle AEF}$。A符合题意，B不符合题意。过点$A$作$AN\perp BC$于点$N$，交$EF$于点$M$，如图。
　　　　　　　
∵点$E$，$F$分别是$AB$和$AC$的中点，
∴$EF$是$\triangle ABC$的中位线。
∴$EF// BC$，$BC = 2EF$。
∴$\triangle AEF\sim\triangle ABC$。
∴$\frac{AM}{AN}=\frac{EF}{BC}=\frac{1}{2}$。
∴$AM = MN$，$\frac{S_{\triangle AEF}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{1}{4}$。
∴$S_{\triangle EFP}=S_{\triangle AEF}$，$S_{\triangle AEF}=\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}$。
∴$S_{\triangle EFP}=\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}$。C，D不符合题意。故选A。

11. 写一个实数$x$，使$(\sqrt{3}+1)x$运算的结果为有理数，$x$可以是_______(写出一个即可).

答案： $(\sqrt{3}-1)$（答案不唯一）

12. 如图，顺次连结等边三角形三边中点得到四个全等等边三角形. 任意给其中两个涂色，涂色部分正好是菱形的概率是_______.

答案： $\frac{1}{2}$

13. 如图是可折叠的简易凳子侧面示意图，$AD$与$CB$相交于点$O$，$AB// CD$，根据图中的数据可得凳子高度是_______m.

答案：
[解析]过点$O$作$OE\perp CD$，垂足为$E$，延长$EO$交$AB$于点$F$，如图。
　　　　　　　　
∵$AB// CD$，
∴$\angle C=\angle OBA$，$\angle ODC=\angle A$，$EF\perp AB$。
∴$OE = x\ m$，$OF = 0.5\ m$。
∴$\triangle ODC\sim\triangle OAB$。
∴$\frac{OE}{OF}=\frac{CD}{AB}$，即$\frac{x}{0.5}=\frac{0.8}{1}$，
∴$x = 0.4$。
∴$EF=OE + OF=0.4 + 0.5 = 0.9(m)$。
∴凳子高度是$0.9\ m$。

14. 如图，在$\triangle ABC$中，$A$，$B$两个顶点在$x$轴的上方，点$C$的坐标是$(-1,0)$. 以点$C$为位似中心，在$x$轴的下方作$\triangle ABC$的位似图形，并把$\triangle ABC$的边长放大到原来的2倍，记所得的图形为$\triangle A'B'C$. 设点$B$的横坐标是$-a$，则点$B$的对应点$B'$的横坐标是_______.

答案： [解析]过点$B$作$BE\perp x$轴于点$E$，过点$B'$作$B'F\perp x$轴于点$F$。
∴$BE// B'F$。
∴$\triangle BEC\sim\triangle B'FC$。
∴$\frac{CE}{CF}=\frac{BC}{B'C}=\frac{1}{2}$。
∵点$B$的横坐标是$-a$，
∴$CE = a - 1$。
∴$CF = 2a - 2$。
∴$OF = 2a - 3$。
∴点$B$的对应点$B'$的横坐标是$2a - 3$。

15. 在$\triangle ABC$中，$AB = 10$，$BD$平分$\angle ABC$，$AD\bot BD$于点$D$，$E$是$AC$的中点，$DE = 1$，则$BC$的长度是_______.

答案：
[解析]根据题意，分两种情况：
①当点$D$在$\triangle ABC$外部时，延长$AD$交$BC$的延长线于点$F$，如图①。
　　　
∵$BD$平分$\angle ABC$，
∴$\angle ABD=\angle FBD$。
∵$AD\perp BD$，
∴$\angle ADB=\angle FDB = 90^{\circ}$。
∴$\angle BAD=\angle BFD$。
∴$BF = BA = 10$。
∵$BD\perp AF$，
∴$D$是$AF$的中点。
∵$E$是$AC$的中点，
∴$DE$是$\triangle ACF$的中位线。
∴$CF = 2DE = 2\times1 = 2$。
∴$BC = BF - CF = 10 - 2 = 8$。
②当点$D$在$\triangle ABC$内部时，延长$AD$交$BC$于点$F$，如图②。
　　　
同理可得$CF = 2$，$BF = AB = 10$。
∴$BC = BF + FC = 12$。
综上所述，$BC$的长度是8或12。

三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. （10分）（1）计算：$(\pi - 3.14)^0+\vert1 - \sqrt{3}\vert-\sqrt{12}$； （2）解方程：$2x^2 - 7x=-3$.

答案： 解：
(1)原式$= 1+\sqrt{3}-1 - 2\sqrt{3}$ (3分)
$=-\sqrt{3}$。 (5分)
(2)移项，得$2x^{2}-7x + 3 = 0$。
方程左边因式分解，得$(2x - 1)(x - 3)=0$。 (3分)
∴$2x - 1 = 0$或$x - 3 = 0$。
∴$x_{1}=\frac{1}{2}$，$x_{2}=3$。 (5分)