《2025年王朝霞各地期末试卷精选九年级数学华师大版河南专版》

三、解答题(本大题共8个小题，共75分)
16. （共10分，每题5分）
（1）计算：$\vert\sqrt{3}-2\vert-\sqrt{12}\times\tan60^{\circ}+2\cos30^{\circ}+(\frac{1}{2})^{-1}$；
（2）解方程：$2x(x - 1)=3(x - 1)$.

答案： 解:
(1)原式 = $2-\sqrt{3}-2\sqrt{3}\times\sqrt{3}+2\times\frac{\sqrt{3}}{2}+2$
= $2-\sqrt{3}-6+\sqrt{3}+2=-2$.
(2)移项，得2x(x - 1) - 3(x - 1) = 0.
因式分解，得(x - 1)(2x - 3) = 0.
∴x - 1 = 0或2x - 3 = 0.
∴$x_{1}=1$，$x_{2}=\frac{3}{2}$.

17. （8分）某市将开展以“走进中国数学史”为主题的知识竞赛活动. 文峰中学对本校100名参加选拔赛的同学的成绩按A，B，C，D四个等级进行统计，绘制成如下不完整的统计表和扇形统计图.
（1）求$m =$_______，$n =$_______；
（2）在扇形统计图中，求“C等级”所对应扇形的圆心角的度数；
（3）成绩等级为A的4名同学中有1名男生和3名女生，现从中随机挑选2名同学代表学校参加全市比赛，请用画树状图法或列表法求出恰好选中“1男1女”的概率.

答案： 解:
(1)51　30
(2)“C等级”所对应扇形的圆心角度数为$360^{\circ}\times\frac{30}{100}=108^{\circ}$.
(3)记3名女生分别为女₁，女₂，女₃.随机挑选的2名同学分别为第1名、第2名，列表表示出所有可能出现的结果如下：
第2名 第1名 男 女₁ 女₂ 女₃
男 —— (女₁,男) (女₂,男) (女₃,男)
女₁ (男,女₁) —— (女₂,女₁) (女₃,女₁)
女₂ (男,女₂) (女₁,女₂) —— (女₃,女₂)
女₃ (男,女₃) (女₁,女₃) (女₂,女₃) ——
由表可知，共有12种等可能的结果，其中选中1名男生和1名女生的结果有6种.
∴P(选中1名男生和1名女生) = $\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.

18. （8分）如图，在正方形ABCD中，E是边AD上的点，点F在边CD上，且$CF = 3DF$，$\angle BEF = 90^{\circ}$.
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若AB = 6，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长.

答案： 解:
(1)证明:
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A = ∠D = 90°.
∴∠ABE + ∠AEB = 90°.
∵∠BEF = 90°，
∴∠AEB + ∠DEF = 90°.
∴∠ABE = ∠DEF.
∴△ABE∽△DEF.
(2)
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD = CD = AB = 6，AD//BG.
∵CF = 3DF，
∴DF = $\frac{1}{4}CD = 1.5$.
设DE = x，则AE = 6 - x.
∵△ABE∽△DEF，
∴$\frac{AE}{DF}=\frac{AB}{DE}$.
∴$\frac{6 - x}{1.5}=\frac{6}{x}$.
解得x = 3，符合题意.
∴DE = 3.
∵AD//BG，
∴△DEF∽△CGF.
∴$\frac{DE}{CG}=\frac{DF}{CF}$.
∵CF = 3DF，
∴$\frac{3}{CG}=\frac{1}{3}$.
∴CG = 9，符合题意.
∴BG = BC + CG = 15.