《2025年王朝霞各地期末试卷精选九年级数学华师大版河南专版》

19. （9分）如图，在一条笔直的高速公路l上有A，B两个观测站，AB = 2100 m，从A站测得文物保护点C在其北偏东45°方向上，从B站测得文物保护点C在其北偏东23°方向上. 若现在想修建一个以文物保护点C为圆心，半径为3000 m的文物观赏园，公路l是否在文物观赏园的范围内？（参考数据：$\sin23^{\circ}\approx0.4$，$\cos23^{\circ}\approx0.9$，$\tan23^{\circ}\approx0.4$，$\sqrt{2}\approx1.4$.）

答案：
解:过点C作CD⊥l，垂足为D.

根据题意，得∠CAD = $90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$，∠EBC = $23^{\circ}$，BE//CD.
∴∠BCD = ∠EBC = $23^{\circ}$.
设BD = x m，则AD = AB + BD = (2100 + x)m.
∴在Rt△BCD中，CD = $\frac{BD}{\tan23^{\circ}}\approx\frac{x}{0.4}=2.5x$，在Rt△ACD中，CD = AD·tan$45^{\circ}=2100 + x$.
∴2.5x = 2100 + x. 解得x = 1400.
∴CD = 2100 + x = 3500.
∵3500 ＞ 3000，
∴公路l不在文物观赏园的范围内.

20. （10分）小李在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，球飞行路线满足抛物线$y = -\frac{1}{5}x^{2}+\frac{8}{5}x$（如图所示），其中$y(m)$是球的飞行高度，$x(m)$是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2 m.
（1）请写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
（2）请求出球洞距离击球点的水平距离.
（3）若小李再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行的路线应满足怎样的抛物线？求其表达式.

答案： 解:
(1)
∵y = $-\frac{1}{5}x^{2}+\frac{8}{5}x=-\frac{1}{5}(x - 4)^{2}+\frac{16}{5}$，
∴该抛物线的开口向下，对称轴为直线x = 4，顶点坐标为$(4,\frac{16}{5})$.
(2)在y = $-\frac{1}{5}x^{2}+\frac{8}{5}x$中，当y = 0时，$-\frac{1}{5}x^{2}+\frac{8}{5}x = 0$. 解得$x_{1}=0$(舍去)，$x_{2}=8$.
∴球洞离击球点的水平距离为8 + 2 = 10(m).
(3)要让球刚好进洞而飞行最大高度不变，则球飞行的最大水平距离为10 m.
∴抛物线的对称轴为直线x = 5，顶点坐标为$(5,\frac{16}{5})$. 设此时对应的抛物线的表达式为y = a(x - 5)$^{2}+\frac{16}{5}$. 把(0,0)代入y = a(x - 5)$^{2}+\frac{16}{5}$，得25a + $\frac{16}{5}=0$. 解得a = $-\frac{16}{125}$.
∴此时球飞行路线满足的抛物线的表达式为y = $-\frac{16}{125}(x - 5)^{2}+\frac{16}{5}$.