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2025年智慧学堂九年级数学下册华师大版
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年智慧学堂九年级数学下册华师大版 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
10.(2023乐山中考)如图，已知⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB = 90°，D是圆上一点，E是DC延长线上一点，连结AD、AE，且AD = AE，CA = CE.
(1)求证：直线AE是⊙O的切线；
(2)若sinE = $\frac{2}{3}$，⊙O的半径为3，求AD的长.
(1)求证：直线AE是⊙O的切线；
(2)若sinE = $\frac{2}{3}$，⊙O的半径为3，求AD的长.
答案：
(1)证明：
∵∠ACB = 90°，
∴AB是⊙O的直径，
∵AD = AE，
∴∠E = ∠D，
∵∠B = ∠D，
∴∠E = ∠B，
∵CA = CE，
∴∠E = ∠CAE，
∴∠CAE = ∠B，
∴∠OAE = ∠CAE + ∠CAB = ∠B + ∠CAB = 90°，
∴AE⊥AO，
∵OA是⊙O的半径，且AE⊥OA，
∴直线AE是⊙O的切线；
(2)解：作CF⊥AE于点F，则∠CFE = 90°，
∵∠E = ∠CAE = ∠B，
∴$\frac{CA}{AB}=\sin B=\sin E=\frac{CF}{CE}=\frac{2}{3}$，
∵OA = OB = 3，
∴AB = 6，
∴CE = CA = $\frac{2}{3}$AB = 4，
∴CF = $\frac{2}{3}$CE = $\frac{8}{3}$，
∴AF = EF = $\sqrt{CE^{2}-CF^{2}}=\frac{4\sqrt{5}}{3}$，
∴AD = AE = 2AF = $\frac{8\sqrt{5}}{3}$。
(1)证明：
∵∠ACB = 90°，
∴AB是⊙O的直径，
∵AD = AE，
∴∠E = ∠D，
∵∠B = ∠D，
∴∠E = ∠B，
∵CA = CE，
∴∠E = ∠CAE，
∴∠CAE = ∠B，
∴∠OAE = ∠CAE + ∠CAB = ∠B + ∠CAB = 90°，
∴AE⊥AO，
∵OA是⊙O的半径，且AE⊥OA，
∴直线AE是⊙O的切线；
(2)解：作CF⊥AE于点F，则∠CFE = 90°，
∵∠E = ∠CAE = ∠B，
∴$\frac{CA}{AB}=\sin B=\sin E=\frac{CF}{CE}=\frac{2}{3}$，
∵OA = OB = 3，
∴AB = 6，
∴CE = CA = $\frac{2}{3}$AB = 4，
∴CF = $\frac{2}{3}$CE = $\frac{8}{3}$，
∴AF = EF = $\sqrt{CE^{2}-CF^{2}}=\frac{4\sqrt{5}}{3}$，
∴AD = AE = 2AF = $\frac{8\sqrt{5}}{3}$。
11.(2023达州中考)如图，四边形ABCD是边长为$\frac{1}{2}$的正方形，曲线DA₁B₁C₁D₁A₂…是由多段90°的圆心角所对的弧组成的，其中，$\overset{\frown}{DA_{1}}$的圆心为A，半径为AD；$\overset{\frown}{A_{1}B_{1}}$的圆心为B，半径为BA₁；$\overset{\frown}{B_{1}C_{1}}$的圆心为C，半径为CB₁；$\overset{\frown}{C_{1}D_{1}}$的圆心为D，半径为DC₁；…，$\overset{\frown}{DA_{1}}$、$\overset{\frown}{A_{1}B_{1}}$、$\overset{\frown}{B_{1}C_{1}}$、$\overset{\frown}{C_{1}D_{1}}$……的圆心依次为A、B、C、D循环，则$\overset{\frown}{A_{2023}B_{2023}}$的长是（ ）
A.$\frac{4045\pi}{2}$ B.2023π C.$\frac{2023\pi}{4}$ D.2022π
A.$\frac{4045\pi}{2}$ B.2023π C.$\frac{2023\pi}{4}$ D.2022π
答案：
A
12.如图，半径为2的扇形ABO的圆心角为120°，点C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，点D，E是半径OA，OB上的动点，且满足∠DCE = 60°，则图中阴影部分面积等于_________.
答案：
$\frac{4}{3}\pi-\sqrt{3}$
13.(2023菏泽中考)如图，正八边形ABCDEFGH的边长为4，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则阴影部分的面积为________（结果保留π）.
答案：
6π
14.(2023广安中考)如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，点E是BC的中点，连结OE、DE.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若sinC = $\frac{4}{5}$，DE = 5，求AD的长；
(3)求证：2DE² = CD·OE.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若sinC = $\frac{4}{5}$，DE = 5，求AD的长；
(3)求证：2DE² = CD·OE.
答案：
(1)证明：连结OD，BD，在Rt△ABC中，∠ABC = 90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB = 90°，
∴∠BDC = 90°，
∵点E是BC的中点，
∴DE = BE = EC，
∵OB，OD是⊙O的半径，
∴OB = OD，又
∵OE = OE，
∴△ODE≌△OBE，
∴∠ODE = ∠OBE = 90°，
∵半径OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
(2)解：由
(1)知：DE = BE = EC，∠ADB = ∠BDC = ∠ABC = 90°，
∵DE = 5，
∴BC = 10，
∵$\sin C=\frac{4}{5}$，
∴$\frac{BD}{BC}=\frac{4}{5}$，
∴BD = 8，
∵∠C + ∠CBD = ∠ABD + ∠CBD = 90°，
∴∠ABD = ∠C，
∴$\sin\angle ABD=\sin C=\frac{4}{5}$，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{4}{5}$，设AD = 4x，AB = 5x，
∵AD² + BD² = AB²，
∴(4x)² + 8² = (5x)²，解得：x = $\frac{8}{3}$(负值舍去)，
∴AD = 4x = 4×$\frac{8}{3}=\frac{32}{3}$；
(3)证明：由
(1)
(2)得：∠BDC = ∠OBE = 90°，BE = DE，
∵点O是AB的中点，点E是BC的中点，
∴OE//AC，BC = 2BE，
∴∠C = ∠OEB，
∴△BCD∽△OEB，
∴$\frac{CD}{BE}=\frac{BC}{OE}$，即$\frac{CD}{DE}=\frac{2DE}{OE}$，
∴2DE² = CD·OE。
(1)证明：连结OD，BD，在Rt△ABC中，∠ABC = 90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB = 90°，
∴∠BDC = 90°，
∵点E是BC的中点，
∴DE = BE = EC，
∵OB，OD是⊙O的半径，
∴OB = OD，又
∵OE = OE，
∴△ODE≌△OBE，
∴∠ODE = ∠OBE = 90°，
∵半径OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
(2)解：由
(1)知：DE = BE = EC，∠ADB = ∠BDC = ∠ABC = 90°，
∵DE = 5，
∴BC = 10，
∵$\sin C=\frac{4}{5}$，
∴$\frac{BD}{BC}=\frac{4}{5}$，
∴BD = 8，
∵∠C + ∠CBD = ∠ABD + ∠CBD = 90°，
∴∠ABD = ∠C，
∴$\sin\angle ABD=\sin C=\frac{4}{5}$，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{4}{5}$，设AD = 4x，AB = 5x，
∵AD² + BD² = AB²，
∴(4x)² + 8² = (5x)²，解得：x = $\frac{8}{3}$(负值舍去)，
∴AD = 4x = 4×$\frac{8}{3}=\frac{32}{3}$；
(3)证明：由
(1)
(2)得：∠BDC = ∠OBE = 90°，BE = DE，
∵点O是AB的中点，点E是BC的中点，
∴OE//AC，BC = 2BE，
∴∠C = ∠OEB，
∴△BCD∽△OEB，
∴$\frac{CD}{BE}=\frac{BC}{OE}$，即$\frac{CD}{DE}=\frac{2DE}{OE}$，
∴2DE² = CD·OE。
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