《2025年智慧学堂九年级数学下册华师大版》

1. (2023兰州中考)已知二次函数$y = - 3(x - 2)^2 - 3$，下列说法正确的是（ ）
A. 对称轴为$x = - 2$
B. 顶点坐标为$(2,3)$
C. 函数的最大值是$- 3$
D. 函数的最小值是$- 3$

答案： C

2. (2023贵州中考)已知，二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图象如图所示，$P(a,b)$所在的象限是（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限

答案： D

3. (2023凉山州中考)已知抛物线$y = ax^2 + bx + c(a\neq0)$的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A. $abc＜0$
B. $4a - 2b + c＜0$
C. $3a + c = 0$
D. $am^2 + bm + a\leqslant0$（$m$为实数）
　　

答案： C

4. (2023乐山中考)如图，抛物线$y = ax^2 + bx + c$经过点$A(-1,0)$，$B(m,0)$，且$1＜m＜2$，有下列结论：①$b＜0$；②$a + b＞0$；③$0＜a＜-c$；④若点$C(-\frac{2}{3},y_1)$，$D(\frac{5}{3},y_2)$在抛物线上，则$y_1＞y_2$. 其中，正确的结论有（ ）
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个

答案： B

5. (2023宁波中考)如图，已知二次函数$y = x^2 + bx + c$图象经过点$A(1,-2)$和$B(0,-5)$.
(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标；
(2)当$y\leqslant - 2$时，根据图象直接写出$x$的取值范围.　　　　

答案： 解：
(1)把$A(1,-2)$和$B(0,-5)$代入$y = x^{2}+bx + c$得：$\begin{cases}1 + b + c = -2\\c = -5\end{cases}$，解得：$\begin{cases}b = 2\\c = -5\end{cases}$，$\therefore$二次函数的表达式为$y = x^{2}+2x - 5$，$\because y = x^{2}+2x - 5=(x + 1)^{2}-6$，$\therefore$图象的顶点坐标为$(-1,-6)$。
(2)$-3\leqslant x\leqslant1$。

6. 如图，二次函数$y=(x - 1)(x - a)$（$a$为常数）的图象的对称轴为直线$x = 2$.
(1)求$a$的值；
(2)向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的解析式.

答案： 解：
(1)由二次函数$y=(x - 1)(x - a)$（$a$为常数）知，该抛物线与$x$轴的交点坐标是$(1,0)$和$(a,0)$，$\because$对称轴为直线$x = 2$，$\therefore\frac{1 + a}{2}=2$，解得$a = 3$；
(2)由
(1)知$a = 3$，则该抛物线的解析式是$y=(x - 1)(x - 3)=x^{2}-4x + 3$，易知抛物线向下平移$3$个单位长度后经过原点，$\therefore$平移后图象所对应的二次函数的解析式是$y = x^{2}-4x$。

7. (2023巴中中考)在平面直角坐标系中，直线$y = kx + 1$与抛物线$y = \frac{1}{4}x^2$交于$A$、$B$两点，设$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则下列结论正确的个数为（ ）
①$x_1\cdot x_2 = - 4$；②$y_1 + y_2 = 4k^2 + 2$；③当线段$AB$长取最小值时，则$\triangle AOB$的面积为$2$；④若点$N(0,-1)$，则$AN\perp BN$.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： C