《2025年智慧学堂九年级数学下册华师大版》

10.已知函数y=(k - 3)x²+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A. k＜4
B. k≤4
C. k＜4且k≠3
D. k≤4且k≠3

答案： B

11.(2023自贡中考)经过A(2 - 3b,m),B(4b+c - 1,m)两点的抛物线y= - $\frac{1}{2}$x²+bx - b²+2c(x为自变量)与x轴有交点，则线段AB长为（ ）
A. 10
B. 12
C. 13
D. 15

答案： B

12.(2023遂宁中考)抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x= -2.下列说法：①abc＜0；②c - 3a＞0；③4a² - 2ab≥at(at+b)(t为全体实数)；④若图象上存在点A($x_1$,$y_1$)和点B($x_2$,$y_2$)，当m＜$x_1$＜$x_2$＜m+3时，满足$y_1$=$y_2$，则m的取值范围为-5＜m＜ -2，其中正确的个数有（ ）

A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

答案： C

13.已知二次函数y=x²-2mx+m²+3(m是常数).
(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点?

答案：
(1)证明：$\because a = 1＞0$，$\therefore$该函数的图象开口向上，又$\because y = x^{2}-2mx + m^{2}+3=(x - m)^{2}+3\geqslant 3$，$\therefore$该函数的图象在$x$轴上方，$\therefore$不论$m$为何值，该函数的图象与$x$轴没有公共点；
(2)沿$y$轴向下平移3个单位长度.

14.已知二次函数y=x²+x+a的图象与x轴交于A($x_1$,0),B($x_2$,0)两点，且$\frac{1}{x_1^2}$+$\frac{1}{x_2^2}$=1，求a的值.

答案： 解：$\because$二次函数$y = x^{2}+x + a$的图象与$x$轴交于$A(x_{1},0)$，$B(x_{2},0)$两点，即$x_{1}$，$x_{2}$是方程$x^{2}+x + a = 0$的两实数根，$\therefore x_{1}+x_{2}=-1$，$x_{1}x_{2}=a$.$\therefore\frac{1}{x_{1}^{2}}+\frac{1}{x_{2}^{2}}=\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{1}^{2}x_{2}^{2}}=\frac{(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}}{(x_{1}x_{2})^{2}}=\frac{1 - 2a}{a^{2}} = 1$，$\therefore a=-1+\sqrt{2}$或$a=-1-\sqrt{2}$.$\because\Delta = 1 - 4\times 1\times a = 1 - 4a\geqslant 0$，$\therefore a\leqslant\frac{1}{4}$，$\therefore a=-1-\sqrt{2}$.

15.设a,b是任意两个实数，用max{a,b}表示a,b两数中较大者，例如：max{-1,1}=1，max{1,2}=2，max{4,3}=4.参照上面的材料，解答下列问题：
(1)max{5,2}=______，max{0,3}=______；
(2)若max{3x+1,-x+1}=-x+1，求x的取值范围；
(3)求函数y=x²-2x - 4与y=-x+2的图象的交点坐标，函数y=x²-2x - 4的图象如图所示，请你在图中作出函数y=-x+2的图象，并根据图象直接写出max{-x+2,x²-2x - 4}的最小值.

答案： 解：
(1)5；3；
(2)$\because\max\{3x + 1,-x + 1\}=-x + 1$，$\therefore 3x + 1\leqslant - x + 1$，解得$x\leqslant 0$；
(3)联立两函数解析式组成方程组$\begin{cases}y = x^{2}-2x - 4,\\y=-x + 2,\end{cases}$解得$\begin{cases}x_{1}=-2,\\y_{1}=4,\end{cases}\begin{cases}x_{2}=3,\\y_{2}=-1.\end{cases}$ $\therefore$交点坐标为$(-2,4)$和$(3,-1)$. 画出直线$y=-x + 2$略. 观察函数图象可知，当$x = 3$时，$\max\{-x + 2,x^{2}-2x - 4\}$取最小值 - 1.