《2025年智慧学堂九年级数学下册华师大版》

10.(2023宜宾中考)《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图，$\overset{\frown}{AB}$是以点O为圆心、OA为半径的圆弧，N是AB的中点，MN⊥AB.“会圆术”给出$\overset{\frown}{AB}$的弧长l的近似值计算公式：l = AB + $\frac{MN^{2}}{OA}$.当OA = 4，∠AOB = 60°时，则l的值为（ ）

A.11 - 2$\sqrt{3}$
B.11 - 4$\sqrt{3}$
C.8 - 2$\sqrt{3}$
D.8 - 4$\sqrt{3}$

答案： B

11.(2023成都中考)为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行川剧演出.该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是10米，从A到B有一笔直的栏杆，圆心O到栏杆AB的距离是5米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳______名观众同时观看演出.（π取3.14，$\sqrt{3}$取1.73）

答案： 84

12.(广元中考)如图，将⊙O沿弦AB折叠，$\overset{\frown}{AB}$恰好经过圆心O，若AB = 2$\sqrt{3}$，则阴影部分的面积为________.

答案： $\frac{2\pi}{3}$

13.如图，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，连结AC，BD.
(1)求证：AC = BD；
(2)若图中阴影部分的面积是$\frac{3}{4}\pi$cm²，OA = 2cm，求OC的长.

答案：
(1)证明：
∵∠AOB = ∠COD = 90°，
∴∠AOC + ∠AOD = ∠BOD + ∠AOD，
∴∠AOC = ∠BOD.又AO = BO，CO = DO，
∴△AOC≌△BOD，
∴AC = BD；
(2)解：根据题意，得$S_{阴影}=\frac{90\pi OA^{2}}{360}-\frac{90\pi OC^{2}}{360}=\frac{90\pi(OA^{2}-OC^{2})}{360}$，
∴$\frac{3\pi}{4}=\frac{90\pi(2^{2}-OC^{2})}{360}$，解得OC = 1.
∴OC的长为1cm。

14.如图，在等腰△ABC中，AB = AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若DE = $\sqrt{3}$，∠C = 30°，求$\overset{\frown}{AD}$的长.

答案：

(1)证明：连结OD，
∵OC = OD，AB = AC，
∴∠ODC = ∠C，∠C = ∠B，
∴∠ODC = ∠B，
∴OD//AB，
∵DE⊥AB，
∴DE⊥OD，又
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
(2)解：连结AD，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC = 90°，即AD⊥BC，
∵AB = AC，
∴∠B = ∠C = 30°，BD = CD，
∵DE = $\sqrt{3}$，
∴BD = CD = 2$\sqrt{3}$，
∴OA = $\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\times\frac{CD}{\cos30^{\circ}} = 2$，
∵∠AOD = 2∠C = 60°，
∴$\overset{\frown}{AD}$的长为$\frac{60\pi\times2}{180}=\frac{2\pi}{3}$。

15.(2023巴中中考)如图，已知等腰△ABC，AB = AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过D作DF⊥AC于点E，交BA延长线于点F.
(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)若CE = $\sqrt{3}$，CD = 2，求图中阴影部分的面积(结果用π表示).

答案：
(1)证明：连结OD，
∵AB = AC，
∴∠B = ∠C，
∵OB = OD，
∴∠B = ∠ODB，
∴∠ODB = ∠C，
∴AC//OD，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∵OD是⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
(2)解：连结AD，设⊙O的半径为r，在Rt△CED中，CE = $\sqrt{3}$，CD = 2，
∴ED² = CD² - CE² = 4 - 3 = 1，
∴ED = 1，
∵cosC = $\frac{CE}{CD}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠C = 30°，
∴∠B = 30°，∠AOD = 60°，
∵AC//OD，O为AB的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴D是BC中点，
∴CD = BD = 2，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB = 90°，
∴AD = $\frac{1}{2}AB = r$，
∴BD = $\sqrt{3}AD=\sqrt{3}r = 2$，
∴r = $\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴AB = 2r = $\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴AE = AC - CE = AB - $\sqrt{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}-\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴阴影部分的面积 = 四边形AOED的面积 - 扇形AOD的面积 = $\frac{1}{2}\times(\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3})\times1-\frac{60\pi\times(\frac{2\sqrt{3}}{3})^{2}}{360}=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{2\pi}{9}$。