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2025年智慧学堂九年级数学下册华师大版
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年智慧学堂九年级数学下册华师大版 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
10. 在⊙O中，M，N分别为弦AB，CD的中点，如果AB = CD，那么在结论：①OM = ON；②AB = CD；③∠AOB = ∠COD中，正确的是（ ）
A. ①②
B. ①③
C. ②③
D. ①②③
A. ①②
B. ①③
C. ②③
D. ①②③
答案：
D
11. 如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长都相等，∠A = 80°，则∠BOC的度数为________.
答案：
$130^{\circ}$
12. 如图，分别过⊙O的直径AB上的点M，N作弦CD，EF，若CD//EF，AC = BF. 求证：
（1）BEC = ADF；
（2）AM = BN.
（1）BEC = ADF；
（2）AM = BN.
答案：
证明：
(1)连结$OC$，$OF$.
∵$AC = BF$，
∴$∠COA = ∠BOF$，
∴$∠COB = ∠FOA$，
∴$\overset{\frown}{BEC}=\overset{\frown}{ADF}$；
(2)
∵$∠COA = ∠BOF$，$OC = OF = OA = OB$，
∴$∠CAB = ∠ACO = \frac{1}{2}(180^{\circ}-∠COA)$，$∠BFO = ∠ABF = \frac{1}{2}(180^{\circ}-∠BOF)$，
∴$∠CAB = ∠ABF$，
∵$CD// EF$，
∴$∠AMC = ∠ANE$，又
∵$∠BNF = ∠ANE$，
∴$∠AMC = ∠BNF$，又
∵$AC = BF$，
∴$\triangle AMC\cong\triangle BNF$(AAS)，
∴$AM = BN$.
(1)连结$OC$，$OF$.
∵$AC = BF$，
∴$∠COA = ∠BOF$，
∴$∠COB = ∠FOA$，
∴$\overset{\frown}{BEC}=\overset{\frown}{ADF}$；
(2)
∵$∠COA = ∠BOF$，$OC = OF = OA = OB$，
∴$∠CAB = ∠ACO = \frac{1}{2}(180^{\circ}-∠COA)$，$∠BFO = ∠ABF = \frac{1}{2}(180^{\circ}-∠BOF)$，
∴$∠CAB = ∠ABF$，
∵$CD// EF$，
∴$∠AMC = ∠ANE$，又
∵$∠BNF = ∠ANE$，
∴$∠AMC = ∠BNF$，又
∵$AC = BF$，
∴$\triangle AMC\cong\triangle BNF$(AAS)，
∴$AM = BN$.
13. 如图，AB是⊙O的直径，AC = CD，∠COD = 60°.
（1）△AOC是等边三角形吗？请说明理由；
（2）求证：OC//BD.
（1）△AOC是等边三角形吗？请说明理由；
（2）求证：OC//BD.
答案：
(1)解：$\triangle AOC$是等边三角形. 理由：
∵$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$∠AOC = ∠COD = 60^{\circ}$. 又
∵$OA = OC$.
∴$\triangle AOC$是等边三角形；
(2)证明：
∵$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$∠AOC = ∠COD = 60^{\circ}$，
∴$∠BOD = 180^{\circ}-(∠AOC + ∠COD)= 60^{\circ}$.
∵$OD = OB$，
∴$\triangle ODB$为等边三角形.
∴$∠OBD = 60^{\circ}$，
∵$∠OBD = ∠AOC = 60^{\circ}$，
∴$OC// BD$.
(1)解：$\triangle AOC$是等边三角形. 理由：
∵$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$∠AOC = ∠COD = 60^{\circ}$. 又
∵$OA = OC$.
∴$\triangle AOC$是等边三角形；
(2)证明：
∵$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$∠AOC = ∠COD = 60^{\circ}$，
∴$∠BOD = 180^{\circ}-(∠AOC + ∠COD)= 60^{\circ}$.
∵$OD = OB$，
∴$\triangle ODB$为等边三角形.
∴$∠OBD = 60^{\circ}$，
∵$∠OBD = ∠AOC = 60^{\circ}$，
∴$OC// BD$.
14. 问题呈现：阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是ABC的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD = AB + BD. 下面是运用“截长法”证明CD = AB + BD的部分证明过程.
证明：如图2，在CB上截取CG = AB，连结MA，MB，MC和MG. ∵M是ABC的中点，∴MA = MC. 易得∠A = ∠C（同弧所对的圆周角相等）……
请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分.
实践应用：
（1）如图3，已知△ABC内接于⊙O，BC＞AB＞AC，D是ACB的中点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为________；
（2）如图4，已知等腰△ABC内接于⊙O，AB = AC，D为AB上一点，连结DB，CD，∠ACD = 45°，AE⊥CD于点E，△BCD的周长为4$\sqrt{2}$ + 2，BC = 2，请求出AC的长.
证明：如图2，在CB上截取CG = AB，连结MA，MB，MC和MG. ∵M是ABC的中点，∴MA = MC. 易得∠A = ∠C（同弧所对的圆周角相等）……
请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分.
实践应用：
（1）如图3，已知△ABC内接于⊙O，BC＞AB＞AC，D是ACB的中点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为________；
（2）如图4，已知等腰△ABC内接于⊙O，AB = AC，D为AB上一点，连结DB，CD，∠ACD = 45°，AE⊥CD于点E，△BCD的周长为4$\sqrt{2}$ + 2，BC = 2，请求出AC的长.
答案：
问题呈现：证明：如图2，在$CB$上截取$CG = AB$，连结$MA$，$MB$，$MC$和$MG$.
∵$M$是$\overset{\frown}{ABC}$的中点，
∴$MA = MC$. 易得$∠A = ∠C$(同弧所对的圆周角相等). 在$\triangle MBA$和$\triangle MGC$中，$\begin{cases}∠A = ∠C, \\ MA = MC, \\ AB = GC,\end{cases}$
∴$\triangle MBA\cong\triangle MGC$，
∴$MB = MG$，又
∵$MD\perp BC$，
∴$BD = GD$，
∴$CD = GC + GD = AB + BD$. 实践应用：解：
(1)$BE = CE + AC$；
(2)
∵$AB = AC$，
∴$A$是$\overset{\frown}{BAC}$的中点，
∴$AE\perp BC$，根据阿基米德折弦定理得，$CE = BD + DE$，
∵$\triangle BCD$的周长为$4\sqrt{2}+2$，
∴$BD + CD + BC = 4\sqrt{2}+2$，
∴$BD + DE + CE + BC = 2CE + BC = 4\sqrt{2}+2$，
∵$BC = 2$，
∴$CE = 2\sqrt{2}$，在$Rt\triangle ACE$中，
∵$∠ACE = 45^{\circ}$，
∴$AE = CE = 2\sqrt{2}$，
∴$AC = 4$.
∵$M$是$\overset{\frown}{ABC}$的中点，
∴$MA = MC$. 易得$∠A = ∠C$(同弧所对的圆周角相等). 在$\triangle MBA$和$\triangle MGC$中，$\begin{cases}∠A = ∠C, \\ MA = MC, \\ AB = GC,\end{cases}$
∴$\triangle MBA\cong\triangle MGC$，
∴$MB = MG$，又
∵$MD\perp BC$，
∴$BD = GD$，
∴$CD = GC + GD = AB + BD$. 实践应用：解：
(1)$BE = CE + AC$；
(2)
∵$AB = AC$，
∴$A$是$\overset{\frown}{BAC}$的中点，
∴$AE\perp BC$，根据阿基米德折弦定理得，$CE = BD + DE$，
∵$\triangle BCD$的周长为$4\sqrt{2}+2$，
∴$BD + CD + BC = 4\sqrt{2}+2$，
∴$BD + DE + CE + BC = 2CE + BC = 4\sqrt{2}+2$，
∵$BC = 2$，
∴$CE = 2\sqrt{2}$，在$Rt\triangle ACE$中，
∵$∠ACE = 45^{\circ}$，
∴$AE = CE = 2\sqrt{2}$，
∴$AC = 4$.
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