《2025年智慧学堂九年级数学下册华师大版》

8. 随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了一个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为$2\ m$的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为$1\ m$处达到最高，水柱落地处离水池中心$3\ m$.
（1）请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数表达式；
（2）水柱的最大高度为多少米？

答案： 解:
(1)以水池中心为原点,水池中心与水柱落地点所在直线为x轴,水管所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,设抛物线的表达式为y=a(x - 1)²+h,将(0,2)和(3,0)代入,得$\begin{cases}4a + h = 0\\a + h = 2\end{cases}$,解得$\begin{cases}a=-\frac{2}{3}\\h=\frac{8}{3}\end{cases}$,
∴抛物线的表达式为y=- $\frac{2}{3}$(x - 1)²+$\frac{8}{3}$,即y=- $\frac{2}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x + 2(0≤x≤3);
(2)
∵y=- $\frac{2}{3}$(x - 1)²+$\frac{8}{3}$(0≤x≤3),
∴当x = 1时,y取最大值,y最大=$\frac{8}{3}$.答:水柱的最大高度为$\frac{8}{3}$m.

9.（江西中考）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点$K$为飞行距离计分的参照点，落地点超过$K$点越远，飞行距离分越高. 2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度$OA$为$66\ m$，基准点$K$到起跳台的水平距离为$75\ m$，高度为$h\ m$（$h$为定值）. 设运动员从起跳点$A$起跳后的高度$y(m)$与水平距离$x(m)$之间的函数关系式为$y = ax^2 + bx + c(a\neq0)$.
（1）$c$的值为_______；
（2）①若运动员落地点恰好到达$K$点，且此时$a =-\frac{1}{50}$，$b =\frac{9}{10}$，求基准点$K$的高度；
②若$a =-\frac{1}{50}$时，运动员落地点要超过$K$点，则$b$的取值范围为_______；
（3）若运动员飞行的水平距离为$25\ m$时，恰好达到最大高度$76\ m$，试判断他的落地点能否超过$K$点，并说明理由.

答案： 解:
(1)66;
(2)①
∵a=- $\frac{1}{50}$,b=$\frac{9}{10}$,c = 66,
∴y=- $\frac{1}{50}$x²+$\frac{9}{10}$x + 66,
∵基准点K到起跳台的水平距离为75 m,
∴y=- $\frac{1}{50}$×75²+$\frac{9}{10}$×75 + 66 = 21,
∴基准点K的高度为21 m;②b＞$\frac{9}{10}$;
(3)他的落地点能超过K点.理由如下:
∵运动员飞行的水平距离为25 m时,恰好达到最大高度76 m,
∴抛物线的顶点为(25,76),
∴抛物线的解析式为y=a(x - 25)²+76,把点(0,66)的坐标代入,得66=a(0 - 25)²+76,解得a=- $\frac{2}{125}$,
∴抛物线的解析式为y=- $\frac{2}{125}$(x - 25)²+76,当x = 75时,y=- $\frac{2}{125}$×(75 - 25)²+76 = 36,
∵36＞21,
∴他的落地点能超过K点.