《2025年智慧学堂九年级数学下册华师大版》

10. (玉林中考)小嘉说：将二次函数$y = x^2$的图象平移或翻折后经过点$(2,0)$有4种方法：①向右平移2个单位长度；②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度；③向下平移4个单位长度；④沿$x$轴翻折，再向上平移4个单位长度. 你认为小嘉说的方法中正确的有（ ）
A. 1种
B. 2种
C. 3种
D. 4种

答案： D

11. (衢州中考)已知二次函数$y = a(x - 1)^2 - a$（$a \neq 0$），当$- 1 \leq x \leq 4$时，$y$的最小值为$- 4$，则$a$的值为（ ）
A. $\frac{1}{2}$或4
B. $\frac{4}{3}$或$-\frac{1}{2}$
C. $-\frac{4}{3}$或4
D. $-\frac{1}{2}$或4

答案： D

12. 已知抛物线$y = - 4(x + m)^2 + 2$，当$x \geq 1$时，$y$随$x$的增大而减小，那么$m$的取值范围是__________.

答案： $m = - 1$

13. (苏州高新区月考)下列关于二次函数$y = -(x - m)^2 + m^2 + 1$（$m$为常数）的结论：①该函数的图象与函数$y = - x^2$的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点$(0,1)$；③当$x ＞ 0$时，$y$随$x$的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数$y = x^2 + 1$的图象上. 其中所有正确结论的序号是__________.

答案： ①②④

14. 如图，直线$y = n$与二次函数$y = \frac{1}{2}(x - 2)^2 - 1$的图象交于点$B$、点$C$，二次函数的图象的顶点为$A$，当$\triangle ABC$是等腰直角三角形时，$n =$______.

答案： 1

15. (河北中考)如图，点$P(a,3)$在抛物线$C:y = 4 - (6 - x)^2$上，且在$C$的对称轴右侧.
(1)写出$C$的对称轴和$y$的最大值，并求$a$的值；
(2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点$P$及$C$的一段，分别记为$P'$，$C'$. 平移该胶片，使$C'$所在抛物线对应的函数解析式恰为$y = - x^2 + 6x - 9$. 求点$P'$移动的最短路程.

答案： 解：
(1)
∵抛物线$C:y = 4-(x - 6)^2 = -(x - 6)^2 + 4$，
∴抛物线的对称轴为直线$x = 6$，$y$的最大值为4。当$y = 3$时，$3 = 4-(x - 6)^2$，解得$x_1 = 5$，$x_2 = 7$，
∵点$P(a,3)$在对称轴的右侧，
∴$a ＞ 6$，
∴$a = 7$。
(2)
∵平移后的抛物线的解析式为$y = - x^2 + 6x - 9 = -(x - 3)^2$，
∴平移后抛物线的顶点坐标为$(3,0)$，易知平移前抛物线的顶点坐标为$(6,4)$，
∴点$P'$移动的最短路程为$\sqrt{(6 - 3)^2+(4 - 0)^2}=5$。

16. 抛物线$y = (x - 1)^2 - 4$与$x$轴交于$A$，$B$两点（点$A$在点$B$左侧），与$y$轴交于点$C$，点$P$为第四象限的抛物线上的一点，且$\angle PCB + \angle CAB = 135^{\circ}$.
(1)求$\triangle ABC$的面积；
(2)求证：$\angle ACB = \angle BCP$；
(3)求点$P$的坐标.

答案：
(1)解：$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times4\times3 = 6$；
(2)证明：$B(3,0)$，$C(0,-3)$，
∴$OB = OC$，
∴$\angle ABC = 45^{\circ}$，$\angle BAC = 135^{\circ}$，又$\angle BCP+\angle CAB = 135^{\circ}$，
∴$\angle ACB=\angle BCP$；
(3)解：过点$B$作$BS\perp x$轴，交$CP$的延长线于点$S$，由
(2)知$\angle ABC=\angle SBC$，$\angle ACB=\angle BCP$，又$\because BC = BC$，$\therefore\triangle ABC\cong\triangle SBC$，$\therefore AB = SB = 4$，$\therefore S(3,-4)$，$\therefore l_{BC}:y = -\frac{1}{3}x - 3$，联立$\begin{cases}y = -\frac{1}{3}x - 3\\y = x^2 - 2x - 3\end{cases}$，得$P(\frac{5}{3},-\frac{32}{9})$。