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2025年智慧学堂九年级数学下册华师大版
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年智慧学堂九年级数学下册华师大版 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
8. (2023宜宾中考)如图，抛物线$y = ax^2 + bx + c$经过点$A(-3,0)$，顶点为$M(-1,m)$，且抛物线与$y$轴的交点$B$在$(0,-2)$与$(0,-3)$之间（不含端点），则下列结论：①当$-3\leqslant x\leqslant1$时，$y\leqslant0$；②当$\triangle ABM$的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$时，$a = \frac{\sqrt{3}}{2}$；③当$\triangle ABM$为直角三角形时，在$\triangle AOB$内存在唯一一点$P$，使得$PA + PO + PB$的值最小，最小值的平方为$18 + 9\sqrt{3}$. 其中正确的结论是________.（填写所有正确结论的序号）
答案：
①②
9. (2023南充中考)某工厂计划从$A$，$B$两种产品中选择一种生产并销售，每日产销$x$件，已知$A$产品成本价$m$元/件（$m$为常数），且$4\leqslant m\leqslant6$，售价$8$元/件，每日最多产销$500$件，同时每日共支付专利费$30$元；$B$产品成本价$12$元/件，售价$20$元/件，每日最多产销$300$件，同时每日支付专利费$y$元，$y$（元）与每日产销$x$（件）满足关系式$y = 80 + 0.01x^2$.
(1)若产销$A$，$B$两种产品的日利润分别为$w_1$元，$w_2$元，请分别写出$w_1$，$w_2$与$x$的函数关系式，并写出$x$的取值范围；
(2)分别求出产销$A$，$B$两种产品的最大日利润.（$A$产品的最大日利润用含$m$的代数式表示）
(3)为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由.
【利润 =（售价 - 成本）×产销数量 - 专利费】
(1)若产销$A$，$B$两种产品的日利润分别为$w_1$元，$w_2$元，请分别写出$w_1$，$w_2$与$x$的函数关系式，并写出$x$的取值范围；
(2)分别求出产销$A$，$B$两种产品的最大日利润.（$A$产品的最大日利润用含$m$的代数式表示）
(3)为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由.
【利润 =（售价 - 成本）×产销数量 - 专利费】
答案：
解：
(1)根据题意，得$w_{1}=(8 - m)x - 30(0\leqslant x\leqslant500)$，$w_{2}=-0.01x^{2}+8x - 80(0\leqslant x\leqslant300)$；
(2)$\because8 - m＞0$，$\therefore w_{1}$随$x$的增大而增大，又$0\leqslant x\leqslant500$，$\therefore$当$x = 500$时，$w_{1}$有最大值，即$w_{1最大}=-500m + 3970$（元），$\because w_{2}=-0.01x^{2}+8x - 80=-0.01(x - 400)^{2}+1520$，又$\because - 0.01＜0$，对称轴$x = 400$，$\therefore$当$0\leqslant x\leqslant300$时，$w_{2}$随$x$的增大而增大，$\therefore$当$x = 300$时，$w_{2最大}=-0.01\times(300 - 400)^{2}+1520 = 1420$（元）；
(3)①若$w_{1最大}=w_{2最大}$，即$-500m + 3970 = 1420$，解得$m = 5.1$，②若$w_{1最大}＞w_{2最大}$，即$-500m + 3970＞1420$，解得$m＜5.1$，③若$w_{1最大}＜w_{2最大}$，即$-500m + 3970＜1420$，解得$m＞5.1$，又$4\leqslant m\leqslant6$，综上可得，为获得最大日利润：当$m = 5.1$时，选择$A$，$B$产品产销均可；当$4\leqslant m＜5.1$时，选择$A$产品产销；当$5.1＜m\leqslant6$时，选择$B$产品产销。答：当$A$产品成本价为$5.1$元时，工厂选择$A$或$B$产品产销日利润一样；当$A$产品成本价$4\leqslant m＜5.1$时，工厂选择$A$产品产销日利润最大；当产品成本价$5.1＜m\leqslant6$时，工厂选择$B$产品产销日利润最大。
(1)根据题意，得$w_{1}=(8 - m)x - 30(0\leqslant x\leqslant500)$，$w_{2}=-0.01x^{2}+8x - 80(0\leqslant x\leqslant300)$；
(2)$\because8 - m＞0$，$\therefore w_{1}$随$x$的增大而增大，又$0\leqslant x\leqslant500$，$\therefore$当$x = 500$时，$w_{1}$有最大值，即$w_{1最大}=-500m + 3970$（元），$\because w_{2}=-0.01x^{2}+8x - 80=-0.01(x - 400)^{2}+1520$，又$\because - 0.01＜0$，对称轴$x = 400$，$\therefore$当$0\leqslant x\leqslant300$时，$w_{2}$随$x$的增大而增大，$\therefore$当$x = 300$时，$w_{2最大}=-0.01\times(300 - 400)^{2}+1520 = 1420$（元）；
(3)①若$w_{1最大}=w_{2最大}$，即$-500m + 3970 = 1420$，解得$m = 5.1$，②若$w_{1最大}＞w_{2最大}$，即$-500m + 3970＞1420$，解得$m＜5.1$，③若$w_{1最大}＜w_{2最大}$，即$-500m + 3970＜1420$，解得$m＞5.1$，又$4\leqslant m\leqslant6$，综上可得，为获得最大日利润：当$m = 5.1$时，选择$A$，$B$产品产销均可；当$4\leqslant m＜5.1$时，选择$A$产品产销；当$5.1＜m\leqslant6$时，选择$B$产品产销。答：当$A$产品成本价为$5.1$元时，工厂选择$A$或$B$产品产销日利润一样；当$A$产品成本价$4\leqslant m＜5.1$时，工厂选择$A$产品产销日利润最大；当产品成本价$5.1＜m\leqslant6$时，工厂选择$B$产品产销日利润最大。
10. (2023重庆中考A卷)如图，在平面直角坐标系中，抛物线$y = ax^2 + bx + 2$过点$(1,3)$，且交$x$轴于$A(-1,0)$，$B$两点，交$y$轴于点$C$.
(1)求抛物线的表达式；
(2)点$P$是直线$BC$上方抛物线上的一动点，过点$P$作$PD\perp BC$于点$D$，过点$P$作$y$轴的平行线交直线$BC$于点$E$，求$\triangle PDE$周长的最大值及此时点$P$的坐标；
(3)在(2)中$\triangle PDE$周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线$CB$方向平移$\sqrt{5}$个单位长度，点$M$为平移后的抛物线的对称轴上一点. 在平面内确定一点$N$，使得以点$A$，$P$，$M$，$N$为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点$N$的坐标，并写出求解点$N$的坐标的其中一种情况的过程.
(1)求抛物线的表达式；
(2)点$P$是直线$BC$上方抛物线上的一动点，过点$P$作$PD\perp BC$于点$D$，过点$P$作$y$轴的平行线交直线$BC$于点$E$，求$\triangle PDE$周长的最大值及此时点$P$的坐标；
(3)在(2)中$\triangle PDE$周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线$CB$方向平移$\sqrt{5}$个单位长度，点$M$为平移后的抛物线的对称轴上一点. 在平面内确定一点$N$，使得以点$A$，$P$，$M$，$N$为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点$N$的坐标，并写出求解点$N$的坐标的其中一种情况的过程.
答案：
解：
(1)$y = -\frac{1}{2}x^{2}+\frac{3}{2}x + 2$；
(2)$\triangle PDE$周长的最大值为$\frac{10 + 6\sqrt{5}}{5}$，此时点$P$的坐标为$(2,3)$；
(3)点$N$的坐标为$(\frac{1}{2},\frac{3\sqrt{7}}{2})$或$(\frac{1}{2},-\frac{3\sqrt{7}}{2})$或$(-\frac{5}{2},-\frac{9}{2})$。过程略。
(1)$y = -\frac{1}{2}x^{2}+\frac{3}{2}x + 2$；
(2)$\triangle PDE$周长的最大值为$\frac{10 + 6\sqrt{5}}{5}$，此时点$P$的坐标为$(2,3)$；
(3)点$N$的坐标为$(\frac{1}{2},\frac{3\sqrt{7}}{2})$或$(\frac{1}{2},-\frac{3\sqrt{7}}{2})$或$(-\frac{5}{2},-\frac{9}{2})$。过程略。
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