《2025年智慧学堂九年级数学下册华师大版》

1. 已知抛物线$y = ax^{2}+bx + c$的开口向上，顶点坐标为$(3,-2)$，那么该抛物线有（ ）
A. 最小值$-2$
B. 最大值$-2$
C. 最小值3
D. 最大值3

答案： A

2. 二次函数$y = x^{2}-4x + 7$的最小值为（ ）
A. 2
B. -2
C. 3
D. -3

答案： C

3. 已知二次函数$y = x^{2}-6x + m$的最小值为1，那么$m$的值为（ ）
A. 10
B. 9
C. 8
D. 7

答案： A

4. 用一根长为40cm的绳子围成一个面积为$a$cm²的长方形，那么$a$的值不可能为（ ）
A. 20
B. 40
C. 100
D. 120

答案： D

5. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AB = 10$cm，$BC = 8$cm，点$P$从点$A$沿$AC$向点$C$以1cm/s的速度运动，同时点$Q$从点$C$沿$CB$向点$B$以2cm/s的速度运动（点$Q$运动到点$B$停止），在运动过程中，四边形$PABQ$面积的最小值为（ ）

A. 19cm²
B. 16cm²
C. 15cm²
D. 12cm²

答案： C

6. (2023北京四中模拟)如图，用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为______m².

答案： 32

7. 如图，线段$EF = 10$，在$EF$上取一点$M$，分别以$EM$，$MF$为一边作矩形$EMNH$，矩形$MF - GN$，使$MF = 2MN$. 设$MN = x$，当$x$为何值时，矩形$EMNH$的面积$S$有最大值？最大值是多少？

答案： 解：$S = x(10 - 2x)=-2x^{2}+10x=-2(x - \frac{5}{2})^{2}+\frac{25}{2}(0 ＜ x ＜ 5)$.$\therefore$当$x = \frac{5}{2}$时，$S_{最大}=\frac{25}{2}$.

8. 如图，四边形两条对角线$AC$，$BD$互相垂直，$AC + BD = 20$，当$AC$，$BD$分别为多少时，四边形$ABCD$的面积最大？

答案： 解：设$AC = x$，则$BD = 20 - x$，设四边形$ABCD$的面积为$S$.$S=\frac{1}{2}x(20 - x)=-\frac{1}{2}(x - 10)^{2}+50$.$\therefore$当$AC$，$BD$分别长10时，四边形$ABCD$的面积最大.

9. (威海中考)如图，某农场要建一个矩形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成，已知墙长25m，木栅栏长47m，在与墙垂直的一边留出1m宽的出入口（另选材料建出入口）. 求养鸡场面积的最大值.

答案： 解：设矩形养鸡场与墙垂直的一边（没有出入口）长为$x$m，则与墙平行的一边长为$(47 - 2x + 1)$m. 由题意得$S = x(47 - 2x + 1)$，即$S=-2(x - 12)^{2}+288$.$\because - 2 ＜ 0$，$\therefore$当$x = 12$时，$S$有最大值，为288. 当$x = 12$时，$47 - 2x + 1 = 24 ＜ 25$，符合题意. 答：养鸡场面积的最大值为$288m^{2}$.

10. 如图，$\triangle ABC$中，$AD$是$BC$边上的高，$BC = 12$，$AD = 8$，矩形$EFGH$的边$EF$在$BC$上，点$G$、$H$分别在边$AC$、$AB$上运动，当矩形$EFGH$的面积最大时，$EF$的长为（ ）

A. 5
B. 6
C. 7
D. 8

答案： B

11. 如图，正方形$ABCD$的边长为4，$E$，$F$分别是$BC$，$CD$上的两个动点，且$AE\perp EF$，则$AF$的最小值是______.

答案： 5