《2025年名校真题卷七年级数学上册沪科版安徽专版》

23. 综合与探究:
问题情境:
数学活动课上,老师以直线$AB$上一点$O$为端点,作射线$OC$,$OD$,$OM$,$ON$,使$OM$平分$\angle AOC$,$ON$平分$\angle BOD$.若$\angle COD = \alpha$,求$\angle MOC + \angle DON$的度数.
特例探究:
(1) 从特殊到一般是研究几何的一般思路.如图2,“兴趣小组”将一个三角板的直角顶点放在点$O$处,即当$\angle COD = 90°$时,$\angle MOC + \angle DON$的度数为45°;
(2) 如图3,受“兴趣小组”的启发,“智慧小组”将三角板的$60°$角的顶点放在点$O$处,即当$\angle COD = 60°$时,请在图3中求$\angle MOC + \angle DON$的度数;
(3) 请你在图1中求$\angle MOC + \angle DON$的度数(用含$\alpha$的代数式表示).

答案： 23.解:
(1)45°　[答案详解]
∵∠COD = 90°，
∴∠AOC + ∠BOD = 90°.
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠MOC = $\frac{1}{2}$∠AOC，∠DON = $\frac{1}{2}$∠BOD.
∴∠MOC + ∠DON = $\frac{1}{2}$∠AOC + $\frac{1}{2}$∠BOD = $\frac{1}{2}$(∠AOC + ∠BOD) = $\frac{1}{2}$×90° = 45°.故答案为:45°.
(2)
∵∠COD = 60°，
∴∠AOC + ∠BOD = 120°.
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠MOC = $\frac{1}{2}$∠AOC，∠DON = $\frac{1}{2}$∠BOD.
∴∠MOC + ∠DON = $\frac{1}{2}$∠AOC + $\frac{1}{2}$∠BOD = $\frac{1}{2}$(∠AOC + ∠BOD) = $\frac{1}{2}$×120° = 60°.
(3)
∵∠COD = α，
∴∠AOC + ∠BOD = 180° - α.
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠MOC = $\frac{1}{2}$∠AOC，∠DON = $\frac{1}{2}$∠BOD.
∴∠MOC + ∠DON = $\frac{1}{2}$∠AOC + $\frac{1}{2}$∠BOD = $\frac{1}{2}$(∠AOC + ∠BOD) = $\frac{1}{2}$(180° - α) = 90° - $\frac{α}{2}$.