《2025年名校真题卷七年级数学上册沪科版安徽专版》

23. 数轴上点$ A $表示的数是8,点$ B $表示的数是$ - 4 $,如果点$ M,N $在数轴上,且满足点$ M $到点$ A $或点$ B $的距离与点$ N $到点$ B $或点$ A $中另一个点的距离之和等于$ MN $,我们就称$ (M,N) $是$ (A,B) $的“和谐点对”.例如:如图,点$ M,N $表示的数分别为$ - 2 $和4时,$ BM = 2,AN = 4,MN = 6,BM + AN = MN $,我们称$ (M,N) $是$ (A,B) $的“和谐点对”.

请根据上述材料解决下列问题:
(1)点$ E,F,G $表示的数分别为$ - 5,- 3,3 $,写出$ (A,B) $的“和谐点对”(用$ E,F,G $中的两个字母表示),并说明理由;
(2)若点$ P $从点$ A $以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,同时点$ Q $从点$ B $以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,当点$ Q $到达点$ A $时,点$ P,Q $同时停止运动.设点$ Q $的运动时间为$ t(t ＞ 0) $秒,当$ (P,Q) $为$ (A,B) $的“和谐点对”时,求$ t $的值.

答案： 23.解:
(1)(F,G).理由如下:$\because FG = 6$，$FB = 1$，$AG = 5$，$\therefore FB + AG = FG$，即(F,G)是(A,B)的“和谐点对”.
(2)由题意，$t$秒后点$P$对应的数为$8 - 4t$，点$Q$对应的数为$-4 + t$，$\because$当点$Q$到达点$A$时，点$P$，$Q$同时停止运动，$\therefore t = \frac{8 - (-4)}{1}=12$.$\therefore 0 ＜ t \leq 12$.$\because (P,Q)$为(A,B)的“和谐点对”，$\therefore PA + QB = PQ$或$QA + PB = PQ$.分两种情况讨论:①当点$P$在点$B$的右侧时:当$PA + QB = PQ$时，则$4t + t = 8 - 4t - (-4 + t)$，解得$t = \frac{6}{5}$;当$QA + PB = PQ$时，则$12 - t + 12 - 4t = -4 + t - (8 - 4t)$，解得$t = \frac{18}{5}$.$\because$当$t = \frac{18}{5}$时，$8 - 4t = -\frac{32}{5} ＜ -4$，此时点$P$在点$B$的左侧，不符合题意，舍去;②当点$P$在点$B$的左侧时，$QA + PB = PQ$，此时$PQ = PB + BQ$，$\therefore BQ = AQ$，即$Q$是$AB$中点.$\therefore -4 + t = \frac{1}{2}×(-4 + 8)$，解得$t = 6$.综上所述，$t = \frac{6}{5}$或$t = 6$.