《2025年通成学典课时作业本九年级数学上册北师大版山西专版》

10. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，点 $D$，$E$ 分别在边 $AC$，$AB$ 上，$AG$ 平分 $\angle BAC$，交 $DE$，$BC$ 于点 $F$，$G$，且 $AD· AG = AF· AB$。
（1）求证：$\triangle ADF\backsim\triangle ABG$；
（2）若 $\triangle ADF$ 与 $\triangle ABG$ 的周长之比是 $2:5$，$AE = 8$，求 $AC$ 的长。

答案： 10.
(1)
∵AG平分∠BAC，
∴∠DAF=∠BAG。
∵AD·AG=AF·AB，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AF}{AG}$，
∴△ADF∽△ABG。
(2)由
(1)知△ADF∽△ABG，
∴∠ADF=∠B。
∵∠DAE=∠BAC，
∴△DAE∽△BAC，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$。
∵△ADF与△ABG的周长之比是2:5，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{2}{5}$，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{2}{5}$。
∵AE=8，
∴AC=20。

11. 如图，在菱形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$EB\perp AB$，垂足为 $B$，交 $AC$ 于点 $E$。
（1）求证：$\frac{OE}{OB}=\frac{BE}{BC}$；
（2）若 $AE = 6$，$AB = 5$，求 $EC$ 的长。

答案： 11.
(1)
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AB=BC。
∵EB⊥AB，
∴∠EOB=∠EBA=90°。
∵∠OEB=∠BEA，
∴△EOB∽△EBA，
∴$\frac{OE}{BE}=\frac{OB}{BA}$，
∴$\frac{OE}{OB}=\frac{BE}{BA}$。
∵AB=BC，
∴$\frac{OE}{OB}=\frac{BE}{BC}$。
(2)
∵∠AOB=∠ABE=90°，∠OAB=∠BAE，
∴△AOB∽△ABE，
∴$\frac{AO}{AB}=\frac{AB}{AE}$。
∵AE=6，AB=5，
∴$\frac{OA}{5}=\frac{5}{6}$，
∴OA=$\frac{25}{6}$。
∵四边形ABCD为菱形，
∴OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，
∴EC=AC - AE=2OA - AE=$\frac{25}{3}-6=\frac{7}{3}$。

12. 小优和小旭想用所学知识测量旗帜的宽度 $MN$，他们进行了如下操作：如图，首先，小优在点 $C$ 处竖立一根标杆 $BC$，地面上的点 $A$，标杆顶端 $B$ 和旗帜底端 $N$ 在同一条直线上，$BC = 1.5$ 米，$AC = 1$ 米，$AG = 8$ 米；然后，小旭手持自制直角三角纸板 $DEF$，使长直角边 $DF$ 与水平地面平行，调整位置，恰好在点 $P$ 处时，点 $D$，$E$，$M$ 在同一条直线上，$DP = 1.5$ 米，$PG = 23.6$ 米，$DF = 2EF$。已知 $DP\perp PA$，$MG\perp PA$，$BC\perp PA$，点 $P$，$G$，$C$，$A$ 在同一条水平直线上，点 $N$ 在 $MG$ 上，求旗帜的宽度 $MN$。

答案：
12.如图，延长DF交MG于点Q，则易得四边形DQGP为矩形，
∴DQ⊥MG，DQ=PG=23.6米。
∵BC⊥AP，MG⊥AP，
∴∠BCA=∠NGA=90°。
∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△ANG，
∴$\frac{BC}{NG}=\frac{AC}{AG}$。
∵BC=1.5米，AG=8米，AC=1米，
∴NG=12米。同理，可得△DEF∽△DMQ，
∴$\frac{EF}{MQ}=\frac{DF}{DQ}$。
∵DF=2EF，
∴MQ=$\frac{1}{2}$DQ=$\frac{1}{2}$×23.6 = 11.8米。
∴MN=MQ + QG - GN。
∵易得QG=DP=1.5米，
∴MN=1.3米。