《2025年通成学典课时作业本九年级数学上册北师大版山西专版》

10. (2023·哈尔滨)矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F在矩形ABCD的边上，连接OF.若∠ADB=38°，∠BOF=30°，则∠AOF的度数为46°或106°.

答案：
10.46°或106° 解析:由矩形的性质，得到OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA=38°.由三角形外角的性质，得到∠AOB=∠ODA+∠OAD=76°.如图①，当点F在AB上时，得到∠AOF=∠AOB - ∠BOF=46°；如图②，当点F在BC上时，得到∠AOF=∠AOB + ∠BOF=106°.
∴∠AOF的度数为46°或106°.

11. (2022·宜昌)如图，在矩形ABCD中，E是边AD上一点，F，G分别是BE，CE的中点，连接AF，DG，FG.若AF=3，DG=4，FG=5，则矩形ABCD的面积为48.
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答案： 11.48 解析:
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAE=∠CDE=90°，AD//BC.
∵F，G分别是BE，CE的中点，AF=3，DG=4，FG=5，
∴BE=2AF=6，CE=2DG=8，BC=2FG=10.
∴$BE^2 + CE^2 = BC^2$.
∴△BCE是直角三角形，且∠BEC=90°.
∴$S_{\triangle BCE}=\frac{1}{2}BE·CE=\frac{1}{2}×6×8=24$.
∴易得$S_{矩形ABCD}=2S_{\triangle BCE}=2×24=48$.

12. (2022·哈尔滨)已知矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是边AD上一点，连接BE，CE，OE，且BE=CE.
(1) 如图①，求证：△BEO≌△CEO.
(2) 如图②，设BE与AC相交于点F，CE与BD相交于点H，过点D作AC的平行线交BE的延长线于点G.在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中的四个三角形(△AEF除外)，使写出的每个三角形的面积都与△AEF的面积相等.
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答案： 12.
(1)
∵四边形ABCD是矩形，
∴$OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=\frac{1}{2}BD$，AC=BD.
∴OB=OC.
∵BE=CE，OE=OE，
∴△BEO≌△CEO
(2)△DHE，△CHO，△DEG，△BFO

13. 如图，四边形ABCD是矩形，点E在CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED=2∠CED，G是DF的中点，连接AG.
(1) 若BE=2，AG=4，求AB的长；
(2) 若BC=2AB，求∠AED的度数.
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答案： 13.
(1)
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，AD//BC，AD=BC.
∴∠ABE=180° - ∠ABC=90°，∠ADE=∠CED.
∵G是DF的中点，
∴$AG=\frac{1}{2}DF=DG=GF$.
∴∠ADE=∠GAD.
∴∠AGE=∠GAD + ∠ADE=2∠ADE.
∵∠AED=2∠CED，
∴∠AED=∠AGE.
∴AE=AG=4.
∵BE=2，
∴在Rt△ABE中，根据勾股定理，得$AB=\sqrt{AE^2 - BE^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = 2\sqrt{3}$
(2)过点G作GH⊥AB于点H，则∠GHB=90°.
∵∠DAB=90°，
∴∠DAB=∠GHB.
∴GH//AD.
∵AG=GF，
∴AH=HF，即H为AF的中点.又
∵G是DF的中点，
∴HG是△ADF的中位线.
∴$GH=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC$.
∵BC=2AB，
∴AB=GH.在Rt△GHA和Rt△ABE中，
∵GA=AE，GH = AB，
∴Rt△GHA≌Rt△ABE.
∴∠GAH=∠AEB.
∵∠AEB + ∠EAB=90°，
∴∠GAH + ∠EAB=∠EAG=90°.
∵AE=AG，
∴∠AED=∠AGE=45°