《2025年通成学典课时作业本九年级数学上册北师大版山西专版》

1. 如图，数学课上老师给出了下列条件：$a$：两组对边分别相等；$b$：一组对边平行且相等；$c$：一组邻边相等；$d$：一个角是直角。有三名同学给出了不同的组合：① $a$，$c$，$d$；② $b$，$c$，$d$；③ $a$，$b$，$c$。其中，能得到正方形的组合为(C)

A.①
B.③
C.①②
D.②③

答案： 1.C

2. 如图，在$\triangle ABC$中，$AC = BC$，$D$，$E$分别是边$AB$，$AC$的中点，延长$DE$到点$F$，使$DE = EF$，连接$AF$，$CF$，$CD$。当$\angle ACB$的度数为90°时，四边形$ADCF$是正方形。

答案： 2.90°

3. 如图，在$\triangle ABC$中，$D$，$E$分别是边$BC$，$AC$的中点，过点$A$作$AF// BC$，交$DE$的延长线于点$F$，连接$AD$，$CF$。
（1）求证：四边形$ADCF$是平行四边形。
（2）当$\triangle ABC$满足什么条件时，四边形$ADCF$是正方形？请说明理由。

答案： 3.
(1)
∵D,E分别是边BC,AC的中点，
∴DE//AB,BD=CD.
∵AF//BC,
∴四边形ABDF是平行四边形.
∴AF=BD.
∴AF=DC.
∵AF//BC,
∴四边形ADCF是平行四边形　
(2)当△ABC是等腰直角三角形时，四边形ADCF是正方形　理由:
∵D是边BC的中点，△ABC是等腰直角三角形，
∴AD=DC,且AD⊥DC.
∴易得四边形ADCF是正方形.

4. 如图，在矩形$ABCD$中，$AF$，$BE$，$CE$，$DF$分别是矩形的四个内角的平分线，$E$，$M$，$F$，$N$是其交点，求证：四边形$EMFN$是正方形。

答案： 4.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BAD=∠ADC=∠BCD=90°,AD=BC.
∵AF，BE，CE，DF分别是四个内角的平分线，
∴∠EBC=∠ECB=45°.
∴∠E=90°.
∴△EBC为等腰直角三角形.同理,可得∠F=∠EMF=∠ENF=90°,
∴四边形EMFN为矩形.
∵AD=BC,∠E=∠F=90°,∠DAF=∠CBE=45°,
∴△DAF≌△CBE.
∴AF=BE.
∵易得AM=BM,
∴AF−AM=BE−BM,即FM=EM.
∴四边形EMFN是正方形

5. 如图，在四边形$ABCD$中，$E$是线段$AD$上的任意一点（不与点$A$，$D$重合），$G$，$F$，$H$分别是$BE$，$BC$，$CE$的中点，连接$EF$，$FG$，$FH$。若$BE\perp EC$，$EF\perp BC$，求证：四边形$EGFH$是正方形。

答案： 5.连接GH.
∵G,F分别是BE，BC的中点，
∴GF//EC.同理，可得FH//BE.
∴四边形EGFH是平行四边形.
∵G,H分别是BE,CE的中点，
∴GH//BC.
∵EF⊥BC,
∴易得EF⊥GH.
∴四边形EGFH是菱形.
∵BE⊥EC,
∴∠GEH=90°.
∴四边形EGFH是正方形