《2025年通成学典课时作业本九年级数学上册北师大版山西专版》

7. 一个多边形的边长分别为 $2$，$3$，$4$，$5$，$6$，另一个多边形和这个多边形相似，其最短边的长为 $6$，则其最长边的长为(B)

A.$12$
B.$18$
C.$24$
D.$30$

答案： 7.B

8. (2022·运城盐湖期中)如图，在长为 $10$、宽为 $8$ 的矩形中，截去一个小矩形(图中涂色部分)。如果剩下的矩形(空白部分)与原矩形相似，那么截去的小矩形的面积是(A)

A.$\frac{144}{5}$
B.$\frac{256}{5}$
C.$\frac{72}{5}$
D.$\frac{128}{5}$

答案： 8.A

9. 如图，在正方形 $ABCD$ 中，$E$ 是对角线 $BD$ 上的一点，$BE = BC$，过点 $E$ 作 $EF\perp AB$，$EG\perp BC$，垂足分别为 $F$，$G$，则正方形 $FBGE$ 与正方形 $ABCD$ 的相似比为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$。

答案： 9.$\frac{\sqrt{2}}{2}$

10. 如图，$E$ 是菱形 $ABCD$ 对角线 $CA$ 的延长线上任意一点，以线段 $AE$ 为边，向下作一个菱形 $AEFG$，且菱形 $AEFG\sim$ 菱形 $ABCD$，相似比是 $\sqrt{3}:2$，连接 $EB$，$GD$。
（1）求证：$EB = GD$；
（2）若 $\angle DAB = 60^{\circ}$，$AB = 2$，求 $GD$ 的长。

答案： 10.
(1)
∵菱形AEFG∽菱形ABCD，
∴$\angle EAG = \angle BAD$.
∴$\angle EAG + \angle GAB = \angle BAD + \angle GAB$，即$\angle EAB = \angle GAD$.
又
∵在菱形AEFG和菱形ABCD中，$AE = AG$,$AB = AD$，
∴$\triangle AEB \cong \triangle AGD$.
∴$EB = GD$
(2)连接BD，交AC于点P.
∵四边形ABCD是菱形，$\angle DAB = 60°$，
∴$BP \perp AC$，$\angle PAB = \frac{1}{2}\angle DAB = 30°$.
∵$AB = 2$,
∴在$Rt\triangle APB$中，$BP = \frac{1}{2}AB = 1$.根据勾股定理，得$AP = \sqrt{AB^{2} - BP^{2}} = \sqrt{2^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3}$.
∵菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是$\sqrt{3}:2$，
∴$AE:AB = \sqrt{3}:2$.
∵$AB = 2$,
∴$AE = \sqrt{3}$.
∴$EP = AE + AP = 2\sqrt{3}$.
∴在$Rt\triangle BEP$中，根据勾股定理，得$EB = \sqrt{EP^{2} + BP^{2}} = \sqrt{(2\sqrt{3})^{2} + 1^{2}} = \sqrt{13}$.由
(1)，知$EB = GD$，
∴$GD = \sqrt{13}$

11. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 12\mathrm{cm}$，$BC = 16\mathrm{cm}$，$E$，$F$ 分别是 $AB$，$CD$ 上的点，且 $AE = DF = 8\mathrm{cm}$，两动点 $M$，$N$ 同时以 $2\mathrm{cm/s}$ 的速度分别从 $C$，$F$ 两点沿 $CB$，$FE$ 向 $B$，$E$ 两点运动，当点 $M$，$N$ 运动多少秒时，矩形 $CFNM$ 与矩形 $AEFD$ 相似？

答案： 11.设当点M，N运动$t$s时，矩形CFNM与矩形AEFD相似.
由题意，得$AD = BC = 16cm$,$AB = DC = 12cm$,$AE = DF = 8cm$,$NF = MC = 2tcm$.
∴$EB = FC = NM = 4cm$.
∵矩形CFNM与矩形AEFD相似，
∴$\frac{AD}{NF} = \frac{DF}{FC}$或$\frac{AD}{FC} = \frac{DF}{NF}$.
∴$\frac{16}{2t} = \frac{8}{4}$或$\frac{16}{4} = \frac{8}{2t}$，解得$t = 4$;或$\frac{16}{4} = \frac{8}{2t}$，解得$t = 1$.
∴当点M，N运动4s或1s时，矩形CFNM与矩形AEFD相似