《2025年通成学典课时作业本九年级数学上册北师大版山西专版》

1. 如图，在菱形 $ABCD$ 中，$E$，$F$ 分别是 $AB$，$AC$ 的中点. 若菱形 $ABCD$ 的周长为 $24$，则 $EF$ 的长为(C)

A.$6$
B.$8$
C.$3$
D.$4$

答案： 1.C

2. 如图，$E$ 是菱形 $ABCD$ 的边 $BC$ 上一点，且 $\angle DAE=\angle B = 80^{\circ}$，则 $\angle CDE$ 的度数为(B)

A.$35^{\circ}$
B.$30^{\circ}$
C.$25^{\circ}$
D.$20^{\circ}$

答案： 2.B

3. (2023·湘潭)如图，在菱形 $ABCD$ 中，连接 $AC$，$BD$. 若 $\angle 1 = 20^{\circ}$，则 $\angle 2$ 的度数为(C)

A.$20^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$70^{\circ}$
D.$80^{\circ}$

答案： 3.C

4. (教材 $P4$ 习题 $1.1$ 第 $2$ 题变式)(2023·太原迎泽段考)如图，菱形 $ABCD$ 的两条对角线相交于点 $O$. 若 $AC = 10$，$BD = 6$，则菱形 $ABCD$ 的周长是(B)

A.$16$
B.$4\sqrt{34}$
C.$20$
D.$8\sqrt{17}$

答案： 4.B

5. 如图，在菱形 $ABCD$ 中，$AB = 10$，$\angle B = 60^{\circ}$，则 $AC$ 的长为10.

答案： 5.10

6. (2022·山西模拟)如图，在平面直角坐标系中，菱形 $ABCD$ 对角线的交点坐标是 $O(0,0)$，点 $B$ 的坐标是 $(0,1)$，且 $BC=\sqrt{5}$，则点 $A$ 的坐标是(2,0).

答案： 6.(2,0)

7. （2022·西宁）如图，四边形 $ABCD$ 是菱形，$AE\perp BC$ 于点 $E$，$AF\perp CD$ 于点 $F$.
（1）求证：$\triangle ABE\cong\triangle ADF$；
（2）若 $AE = 4$，$CF = 2$，求菱形 $ABCD$ 的边长.

答案： 7.
(1)
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD,∠B=∠D.
∵AE⊥BC,AF⊥CD,
∴∠AEB=∠AFD=90°.
∴△ABE≌△ADF
(2)设菱形ABCD的边长为x,则AB=CD=x.
∵CF=2,
∴DF=x - 2.
∵△ABE≌△ADF,
∴BE=DF=x - 2.
∵AE=4,
∴在Rt△ABE中,根据勾股定理，得AE²+BE²=AB²,即4²+(x - 2)²=x²,解得x=5.
∴菱形ABCD的边长是5

8. 如图，在边长为 $5$ 的菱形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，点 $E$，$F$ 分别在 $AB$，$AD$ 上，$BE = DF$，连接 $EF$.
（1）求证：$AC\perp EF$；
（2）若 $BD = 2AC$，求 $AO$ 的长.

答案： 8.
(1)
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD,AC⊥BD,∠BAC=∠DAC.
∵BE=DF,
∴AB - BE=AD - DF,即AE=AF.
∴AC⊥EF
(2)
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD=2OD,AC=2AO,AC⊥BD.
∵BD=2AC,
∴OD=AC=2AO.
∴在Rt△AOD中,根据勾股定理，得AO²+OD²=AD².
∵菱形ABCD的边长为5，
∴5AO²=5².
∴AO=√5