《2025年通成学典课时作业本九年级数学上册北师大版山西专版》

11. 已知$x = a^{2}+b^{2}+20$，$y = 4(2b - a)$，则$x$与$y$之间的大小关系是(A)

A.$x\geqslant y$
B.$x\leqslant y$
C.$x＜y$
D.$x＞y$

答案： 11.A 解析：由题意，易得x - y=a² + b² + 20 - 4(2b - a)=(a + 2)² + (b - 4)²，
∵(a + 2)²≥0,(b - 4)²≥0,
∴x - y≥0.
∴x≥y.

12. 将代数式$x^{2}-10x + 5$配方后，发现它的最小值为-20。

答案： 12.-20

13. 已知方程$m^{2}-4092529 = 0$的两根为$m_{1}=2023$，$m_{2}=-2023$，则方程$x^{2}-2x - 4092528 = 0$的两根为x₁=2024,x₂=-2022。

答案： 13.x₁=2024,x₂=-2022

14. 将一元二次方程$x^{2}-2px + p^{2}-2p + 5 = 0$配方后化成$(x - m)^{2}=n$的形式。由此说明，当$p$满足什么条件时，方程有两个不相等的实数根？请求出此时方程的根。

答案： 14.移项，得x² - 2px + p²=2p - 5. 配方，得(x - p)²=2p - 5.
∴当2p - 5＞0,即$p＞\frac{5}{2}$时，方程有两个不相等的实数根。两边开平方，得$x - p=±\sqrt{2p - 5}.$
∴$x₁=p + \sqrt{2p - 5},x₂=p - \sqrt{2p - 5}$

15. 如图所示为某年10月的月历表，在其中用一个方框圈出四个数(如图中虚线框所示)，设这四个数从小到大依次为$a$，$b$，$c$，$d$。
(1)若用含有$a$的式子分别表示出$b$，$c$，$d$，则其结果应为$b=$a + 1，$c=$a + 7，$d=$a + 8。
(2)按这种方法所圈出的四个数中，$ab$的最大值为552。
(3)嘉嘉说：“按这种方法可以圈出四个数，使得$bc$的值为135。”淇淇说：“按这种方法可以圈出四个数，使得$ad$的值为84。”请你运用一元二次方程的相关知识分别说明二人的说法是否正确。
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答案： 15.
(1)a + 1 a + 7 a + 8
(2)552
(3)由题意，得(a + 1)(a + 7)=135.整理，得a² + 8a - 128=0,解得a₁=8,a₂=-16(不合题意，舍去).
∵10月8日为周六，无法正确圈出四个数，
∴不符合题意.
∴嘉嘉的说法不正确.由题意，得a(a + 8)=84.整理，得a² + 8a - 84=0,解得a₁=6,a₂=-14(不合题意，舍去).
∵10月6日为周四，可以正确圈出四个数，
∴符合题意.
∴淇淇的说法正确

16. 请阅读下面的材料：
我们可以通过以下方法，求代数式$x^{2}+2x - 3$的最小值。
$x^{2}+2x - 3 = x^{2}+2x + 1^{2}-1^{2}-3=(x + 1)^{2}-4$，
$\because(x + 1)^{2}\geqslant0$，$\therefore$当$x = - 1$时，$x^{2}+2x - 3$有最小值$-4$。
请根据上述方法，解答下列问题：
(1)$x^{2}+6x + 10 = x^{2}+2×3x + 3^{2}-3^{2}+10=(x + a)^{2}+b$，则$a=$3，$b=$1；
(2)求证：无论$x$取何值，代数式$x^{2}+2\sqrt{3}x + 5$的值都是正数；
(3)若代数式$x^{2}-2kx + 7$的最小值为3，求$k$的值。

答案： $16.(1)3 1 (2)x² + 2\sqrt{3}x + 5=x² + 2×\sqrt{3}x + (\sqrt{3})² - (\sqrt{3})² + 5=(x + \sqrt{3})² + 2,$
∵$(x + \sqrt{3})²≥0,$
∴$(x + \sqrt{3})² + 2≥2.$
∴无论x取何值，代数式$x² + 2\sqrt{3}x + 5$的值都是正数
(3)x² - 2kx + 7=x² - 2kx + k² - k² + 7=(x - k)² - k² + 7，
∵(x - k)²≥0,
∴x² - 2kx + 7的最小值为 -k² + 7.又
∵代数式x² - 2kx + 7的最小值为3，
∴-k² + 7=3,解得k=2或k=-2