《2025年通成学典课时作业本九年级数学上册北师大版山西专版》

1. 儿童乐园中，有两块相似三角形的场地，且相似比为 $2:3$，面积的差为 $30m^{2}$。有下列结论：① 这两块地的周长比为 $2:3$；② 这两块地的面积比为 $2:3$；③ 这两块地的面积之和为 $78m^{2}$；④ 这两块地的对应高的比为 $2:3$。其中，正确的有(B)

A.$4$ 个
B.$3$ 个
C.$2$ 个
D.$1$ 个

答案： 1.B

2. (2023·太原杏花岭期中)如图所示为著名画家达·芬奇的名画《蒙娜丽莎》。画中的脸部被包在矩形 $ABCD$ 内，$E$ 是 $AB$ 的黄金分割点，$EF// BC$，交 $DC$ 于点 $F$，$BE＞AE$。若 $AB = 2a$，则 $BE$ 的长为(B)


A.$(\sqrt{5}+1)a$
B.$(\sqrt{5}-1)a$
C.$(3-\sqrt{5})a$
D.$(\sqrt{5}-2)a$

答案： 2.B

3. 如图，一块材料 $ABC$ 的形状是等腰三角形，底边 $BC = 120$，高 $AD = 120$。若把这块材料加工成正方体零件(涂色部分为正方体零件的表面展开图)，则正方体零件的棱长为(B)

A.$20$
B.$24$
C.$28$
D.$32$

答案： 3.B

4. (2023·东营)如图，$\triangle ABC$ 为等边三角形，点 $D$，$E$ 分别在边 $BC$，$AB$ 上，$\angle ADE = 60^{\circ}$。若 $BD = 4DC$，$DE = 2.4$，则 $AD$ 的长为(C)

A.$1.8$
B.$2.4$
C.$3$
D.$3.2$

答案： 4.C　解析:先证∠CAD=∠BDE，再根据∠B=∠C=60°，得出△ADC∽△DEB，
∴$\frac{AD}{DE}=\frac{AC}{DB}$。又
∵BD=4DC，
∴设DC=x，则BD=4x，BC=AC=5x，可得$\frac{AD}{2.4}=\frac{5x}{4x}$，解得AD=3。

5. 如图，$D$ 是 $\triangle ABC$ 内一点，点 $E$ 在线段 $BD$ 的延长线上，$BE$ 与 $AC$ 交于点 $O$，连接 $AD$，$CE$。如果 $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$，那么下列结论中，正确的是(D)

A.$CE// AD$
B.$BD = AD$
C.$\angle ABE = \angle CBE$
D.$BO· AE = AO· BC$

答案： 5.D

6. 如图，$E$ 是四边形 $ABCD$ 的对角线 $BD$ 上一点，且 $\angle BAC = \angle BDC = \angle DAE$。从图中找出 $1$ 对相似三角形：△AEB∽△ADC。

答案： 6.答案不唯一，如△AEB∽△ADC

7. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 4$，$BC = 5$，$E$ 为边 $BC$ 延长线上一点，且 $CE = 3$。连接 $AE$ 交边 $CD$ 于点 $F$，过点 $D$ 作 $DH\perp AE$ 于点 $H$，则 $DH =$$\sqrt{5}$。

答案： 7.$\sqrt{5}$

8. (2023·潍坊)在《数书九章》中记载了一个测量塔高的问题：如图，$AB$ 的长表示塔的高度，$CD$ 的长表示竹竿顶端到地面的高度，$EF$ 的长表示人眼到地面的高度，$AB$，$CD$，$EF$ 在同一平面内，点 $A$，$C$，$E$ 在同一条水平直线上。已知 $AC = 20$ 米，$CE = 10$ 米，$CD = 7$ 米，$EF = 1.4$ 米，人从点 $F$ 远眺塔顶 $B$，视线恰好经过竹竿的顶端 $D$，可求出塔的高度。根据以上信息，塔的高度为18.2米。

答案： 8.18.2

9. 如图，$P$ 为 $□ ABCD$ 的边 $BC$ 上一点，$E$，$F$ 分别为线段 $PA$，$PD$ 上的点，且 $PA = 3PE$，$PD = 3PF$，$\triangle PEF$，$\triangle PDC$，$\triangle PAB$ 的面积分别记为 $S$，$S_{1}$，$S_{2}$。若 $S = 2$，则 $S_{1}+S_{2}=$18。

答案： 9.18