《2025年通成学典课时作业本九年级数学上册北师大版山西专版》

11. $\triangle ABC$与$\triangle DEF$在网格中的位置如图所示，如果每个小正方形的边长都是$1$.
（1）求$\frac{AB}{DE}$，$\frac{BC}{EF}$，$\frac{AC}{DF}$的值；
（2）在$AB$，$BC$，$AC$，$DE$，$EF$，$DF$这六条线段中，指出其中三组成比例的线段.

答案： 11.
(1)由题意，根据勾股定理，易得AB = 4$\sqrt{2}$，BC = 6，AC = 2$\sqrt{5}$，DE = 2$\sqrt{2}$，EF = 3，DF = $\sqrt{5}$，
∴$\frac{AB}{DE}=2$，$\frac{BC}{EF}=2$，$\frac{AC}{DF}=2$.
(2)成比例的线段不唯一，如$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$，AB，DE，BC，EF是成比例的线段；$\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}$，AB，DE，AC，DF是成比例的线段；$\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}$，BC，EF，AC，DF是成比例的线段.

12. 如图，直线$AD// BE// CF$，它们分别交直线$l_{1}$，$l_{2}$，$l_{3}$于点$A$，$B$，$C$，$D$，$E$，$F$，$Q$，$H$，$P$，$l_{2}$与$l_{3}$相交于$DE$的中点$G$，且$\frac{AB}{AC}=\frac{2}{7}$.
（1）若$EF = 10$，求$DE$，$DF$的长；
（2）在（1）的条件下，若$QG = 3$，求$PH$的长.

答案： 12.
(1)
∵直线AD//BE//CF，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{DE}{DF}=\frac{2}{7}$.
∴$\frac{DE}{DE + EF}=\frac{2}{7}$.
∵EF = 10，
∴DE = 4.
∴DF = DE + EF = 14.
(2)
∵G是DE的中点，
∴DG = GE=$\frac{1}{2}$DE.
∵AD//BE，QG = 3，
∴$\frac{DG}{DE}=\frac{QG}{QH}=\frac{1}{2}$.
∴QH = 6.
∵直线AD//BE//CF，
∴$\frac{QH}{PH}=\frac{DE}{EF}$.
∴PH = 15.

13. 如图，矩形$ABCD$的长$AB$为$30$，宽$BC$为$20$.
（1）如图①，若矩形$ABCD$与矩形$A'B'C'D'$之间有等宽，且宽度为$1$的空隙，则矩形$ABCD$与矩形$A'B'C'D'$相似吗？请说明理由.
（2）如图②，若两个矩形上下宽度为$1$，左右宽度为$x$，当$x$为多少时，矩形$ABCD$与矩形$A'B'C'D'$相似？

答案： 13.
(1)不相似 理由：由题意，得AB = 30，A'B' = 28，BC = 20，B'C' = 18.
∵$\frac{28}{30}\neq\frac{18}{20}$，
∴矩形ABCD与矩形A'B'C'D'不相似.
(2)由题意，得AB = 30，A'B' = 30 - 2x，BC = 20，B'C' = 18.
∵矩形ABCD与矩形A'B'C'D'相似，
∴分两种情况讨论：①若$\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}$，则$\frac{30 - 2x}{30}=\frac{18}{20}$，解得x = 1.5. ②若$\frac{A'B'}{BC}=\frac{B'C'}{AB}$，则$\frac{30 - 2x}{20}=\frac{18}{30}$，解得x = 9.综上所述，当x为1.5或9时，矩形ABCD与矩形A'B'C'D'相似.